Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C D M I E
Từ A kẻ AE vuông góc với AI , cắt CD ở E.
Xét hai tam giác vuông : tam giác EAD và tam giác ABM có AD = AB = a
góc EAD = góc BAM vì cùng phụ với góc DAI
=> tam giác DAF = tam giác BAM (cgv.gnk) => AE = AM
áp dụng hệ thức về cạnh trong tam giác vuông AEI có đường cao AD ứng với cạnh huyền EI :
\(\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AI^2}\) hay \(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AI^2}=\frac{1}{a^2}\)
Vẽ thêm đường thẳng AN vuông góc với AM và cắt CD ở N. Chứng minh được: \(\Delta AND=\Delta AMB\left(c-g-c\right)\Rightarrow AM=AN\)(cạnh tương ứng)
Tiếp tục áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ANI .......... => ĐPCM
a) Áp dụng hệ quả định lý thales:
\(\frac{MQ}{CD}+\frac{MP}{AB}=\frac{AM}{AC}+\frac{MC}{AC}=\frac{AC}{AC}=1\)
Áp dụng BĐT bunyakovsky:
\(\left(\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{CD^2}\right)\left(MP^2+MQ^2\right)\ge\left(\frac{MP}{AB}+\frac{MQ}{CD}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{CD^2}\ge\frac{1}{MP^2+MQ^2}\)
dấu = xảy ra khi \(\frac{MC}{AM}=\frac{CD^2}{AB^2}\)
b) chưa nghĩ :v
đoán đề là M thuộc BD hoặc M thuộc CD, nhưng M thuộc cái nào thì giải vẫn vậy thôi, do câu e) có liên quan nên đến đấy mới xét M, nhưng vẽ hình là M thuộc CD cho dễ nhìn nhé
a) Có: \(\widehat{NAD}=90^0-\widehat{MAD}=90^0-\widehat{AEB}=90^0-\left(90^0-\widehat{EAB}\right)=\widehat{EAB}\)
Xét 2 tam giác vuông ADN và ABE có: AD=AB và ^NAD=^EAB => \(\Delta ADN=\Delta ABE\) (g-c-g) => \(AN=AE\)
Tam giác vuông AEN có AE=AN => AEN vuông cân tại A
b) Hình chữ nhật ABCD có BD là đường chéo => \(\widehat{ADB}=\widehat{CDB}=45^0\)
Mà \(\widehat{CDB}=\widehat{ODN}\) ( đối đỉnh ) => \(\widehat{ADB}+\widehat{ODN}=90^0\)\(\Leftrightarrow\)\(\widehat{ADB}+\widehat{ODN}+\widehat{ADN}=180^0\)
=> B, D, O thẳng hàng
c) Có: \(\Delta MDA~\Delta ADN\) ( do \(\widehat{NAD}=90^0-\widehat{MAD}=\widehat{AMD}\) và \(\widehat{ADN}=\widehat{MDA}=90^0\) )
=> \(\frac{AD}{AM}=\frac{DN}{AN}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AB}{AM}=\frac{DN}{AE}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AB^2}{AM^2}=\frac{DN^2}{AE^2}\)
=> \(\frac{AB^2}{AM^2}+\frac{AB^2}{AE^2}=\frac{DN^2}{AE^2}+\frac{AB^2}{AE^2}=\frac{DN^2+AD^2}{AE^2}=\frac{AN^2}{AE^2}=1\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AE^2}=\frac{1}{AB^2}\) ( đpcm )
d) Tam giác AEN vuông cân tại A nên có OA là đường trung tuyến nên OA cũng là đường cao => \(OA\perp NE\)
e) từ câu c) ta có: \(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AE^2}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AE^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{AM^2.AE^2}}=\frac{2}{AM.AE}\)
Dấu "=" xảy ra khi M trùng với C(M thuộc CD) hoặc M là trung điểm của BD(M thuộc BD) (đã nói ở đầu bài)
Bài 1:
trên Cd lấy E sao cho AE = AM
bạn sẽ dễ dàng chứng minh tam giác EAD và tam giác MAB bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền cạnh góc vuông.
suy ra góc EAD = góc BAM. mà góc BAM + góc DAM = 90 độ => góc EAD + góc DAM = góc EAI = 90 độ suy ra tam giác EAI vuông tại A.
từ đó bạn sẽ dễ dàng chứng minh được 1/AE^2 + 1/ AI^2 = 1/AD^2 (theo hệ thức cạnh và đường cao trong tam giác vuông) => hay 1/AM^2 + 1/AI^2 = 1/a^2 (đpcm) :D
bài 2 :
câu a nè
A = (3x^2 - 8x + 6)/(x^2 -2x + 1)
hay Ax^2 - 2Ax + A = 3x^2 - 8x + 6.
=3x^2 - 8x + 6 - Ax^2 + 2Ax -A
= x^2(3 - A) + 2x(A-4) + 6 - A.
delta' = b'^2 - ac = (A-4)^2 - (3-A)(6-A)
= A^2 - 8A + 16 - 18 + 3A + 6A - A^2
= A -2.
để phương trình có nghiệm <=> delta' >= 0 <=> A-2 >= 0 <=> A >= 2.
vật giá trị nhỏ nhất của A = 2
thay A = 2 vào biểu thức A ta sẽ có 2 = (3x^2 - 8x + 6)/(x^2 - 2x +1) từ đó giải được x = ? để min A = 2 :D
b) bạn luôn có a^2 + b^2 >= 2ab
b^2 + c^2 >= 2bc
a^2 + c^2 >= 2ac
cộng 3 vế bđt bạn sẽ có 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 >= 2ab + 2bc + 2ac
hay a^2 + b^2 + c^2 >= ab + ac + bc (đpcm)
chúc bạn học tốt :D
=