Question

[Phạm Tuấn Phong]

Bài 1. Cho hình thang ABCD có đáy AB và DC, trong đó AB = ½ DC Hai đường chéo AC và BD cắt nhau ở điểm E. Hãy so sánh :

a) Độ dài hai đoạn thẳng EA và EC; độ dài hai đoạn thẳng EB và ED (hay tìm tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng EA và EC ; tìm tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng EB và ED).

b) Diện tích hình tam giác EAB và diện tích hình tam giác EDC.

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

A B C D E

a/

2 tam giác ABD và tg BCD có đường cao từ D->AB = đường cao từ B->DC nên

\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{BCD}}=\dfrac{AB}{DC}=\dfrac{1}{2}\)

2 tam giác ABD và tg BCD có chung BD nên

\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{BCD}}=\) đường cao từ A->BD / đường cao từ C->BD\(=\dfrac{1}{2}\)

2 tam giác ABE và tg BCE có chung BE nên

\(\dfrac{S_{ABE}}{S_{BCE}}=\)đường cao từ A->BD / đường cao từ C->BD\(=\dfrac{1}{2}\)

2 tam giác ABE và tg BCE có chung đường cao từ B->AC nên

\(\dfrac{S_{ABE}}{S_{BCE}}=\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{1}{2}\)

2 tg ABC và ACD có đường cao từ C->AB = đường cao từ A->DC nên

\(\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}}=\dfrac{AB}{DC}=\dfrac{1}{2}\)

2 tg ABC và ACD có chung AC nên

\(\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}}=\) đường cao từ B->AC / đường cao từ D->AC\(=\dfrac{1}{2}\)

2 tg BCE và tg CDE có chung CE nên

\(\dfrac{S_{BCE}}{S_{CDE}}=\) đường cao từ B->AC / đường cao từ D->AC\(=\dfrac{1}{2}\)

2 tg BCE và tg CDE có chung đường cao từ C->BD nên

\(\dfrac{S_{BCE}}{S_{CDE}}=\dfrac{EB}{ED}=\dfrac{1}{2}\)

b/

\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{BCD}}=\dfrac{1}{2}\) (cmt) 

Mà \(S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow S_{ABD}=\dfrac{S_{ABCD}}{3}\)

\(\dfrac{EB}{ED}=\dfrac{1}{2}\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{EB}{BD}=\dfrac{1}{3}\)

2 tg EAB và tg ABD có chung đường cao từ A->BD nên

\(\dfrac{S_{EAB}}{S_{ABD}}=\dfrac{EB}{BD}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow S_{EAB}=\dfrac{S_{ABD}}{3}=\dfrac{\dfrac{S_{ABCD}}{3}}{3}=\dfrac{S_{ABCD}}{9}\)

\(\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}}=\dfrac{1}{2}\left(cmt\right)\)

Mà \(S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{ACD}}{S_{ABCD}}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow S_{ACD}=\dfrac{2xS_{ABCD}}{3}\)

\(\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{1}{2}\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{2}{3}\)

2 tg EDC và tg ACD có chung đường cao từ D->AC nên

\(\dfrac{S_{EDC}}{S_{ACD}}=\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow S_{EDC}=\dfrac{2xS_{ACD}}{3}=\dfrac{\dfrac{2}{3}x\dfrac{2}{3}xS_{ABCD}}{3}=\dfrac{4xS_{ABCD}}{9}\)