Question

[bùi thu linh]

a;Tìm giá trị lớn nhất của B= \(\frac{5}{\left(2x-1\right)^2+3}\)

b,Cho đa thức P=2x.(x+y-1)+\(^{y^2}\)+1

- tính P, với x=-5; y=3

- Chứng minh P luôn luôn nhận gì không âm với mọi giá trị của x,y

Answer 1

[Edogawa Conan]

a) Ta có: \(\left(2x-1\right)^2\ge0\forall x\)=> \(\left(2x-1\right)^2+3\ge3\)

=> \(\frac{5}{\left(2x-1\right)^2+3}\le\frac{5}{3}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra <=> 2x - 1 = 0 <=>  x = 1/2

Vậy MaxB = 5/3 khi x = 1/2

b) x = -5; y = 3 => P = 2. (-5).(-5 + 3 - 1) + 3² + 1 = -10. (-3) + 9 + 1 = 30 + 10 = 40

P = 2x(x + y - 1) + y² + 1

P = 2x² + 2xy - 2x + y²  + 1

P = (x² + 2xy + y²) + (x² - 2x + 1)

P = (x + y)² + (x - 1)² \(\ge\)0

=> P luôn nhận giá trị không âm với mọi x;y

Answer 2

[Nobi Nobita]

a) Vì \(\left(2x-1\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow\left(2x-1\right)^2+3\ge3\forall x\)

\(\Rightarrow\frac{5}{\left(2x-1\right)^2+3}\le\frac{5}{3}\forall x\)

hay \(B\le\frac{5}{3}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow2x-1=0\)\(\Leftrightarrow2x=1\)\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vậy \(maxB=\frac{5}{3}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

b) - Thay \(x=-5\)và \(y=3\)vào biểu thức ta được:

\(P=2.\left(-5\right).\left(-5+3-1\right)+3^2+1=30+9+1=40\)

- Ta có: \(P=2x\left(x+y-1\right)+y^2+1=2x^2+2xy-2x+y^2+1\)

\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)=\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2\)

Vì \(\left(x+y\right)^2\ge0\forall x,y\); \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2\ge0\forall x,y\)

hay P luôn nhận giá trị không âm với mọi x, y ( đpcm )