Câu hỏi của Võ nguyễn Thái

Question

Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) y = x⁴ - 2x² + 1 ; b) y = sin2x – x ;

c)y = sinx +...

Võ Đông Anh Tuấn · Accepted Answer

a) y' = 4x³ – 4x = 4x(x² - 1) ; y' = 0 ⇔ 4x(x² - 1) = 0 ⇔ x = 0, x = $\pm$ 1.

y'' = 12x²- 4 .

y''(0) = -4 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_cđ= y(0) = 1.

y''( $\pm$ 1) = 8 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = $\pm$ 1, y_ct= y( $\pm$ 1) = 0.

b) y' = 2cos2x - 1 ;
$y'=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi .$

y'' = -4sin2x .

$y''\left ( \frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left ( \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=-2\sqrt{3}<0$ nên hàm số đạt cực đại tại các điểm x = $\frac{\pi }{6}$ + kπ, y_cđ= sin( $\frac{\pi }{3}$ + k2π) - $\frac{\pi }{6}$ - kπ = $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{6}$ - kπ , k ∈ Z.

$y''\left ( -\frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left (- \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=2\sqrt{3}>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = $-\frac{\pi }{6}$ + kπ, y_ct= sin( $-\frac{\pi }{3}$ + k2π) + $\frac{\pi }{6}$ - kπ = $-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6}$ - kπ , k ∈ Z.

c) y = sinx + cosx = $\sqrt{2}sin\left (x+\frac{\pi }{4} \right )$ ; y' = $\sqrt{2}cos\left (x+\frac{\pi }{4} \right )$ ;

$y'=0\Leftrightarrow cos\left (x+\frac{\pi }{4} \right )=0\Leftrightarrow$ $x+\frac{\pi }{4} =\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi .$

$y''=-\sqrt{2}sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right ).$

$y''\left ( \frac{\pi }{4} +k\pi \right )=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{4}+k\pi +\frac{\pi }{4} \right )=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{2} +k\pi \right )=$

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ , đạt cực tiểu tại các điểm $x=\frac{\pi }{4}+(2k+)\pi (k\in \mathbf{Z}).$

d) y' = 5x⁴ - 3x² - 2 = (x² - 1)(5x² + 2) ; y' = 0 ⇔ x²- 1 = 0 ⇔ x = ±1.

y'' = 20x³- 6x.

y''(1) = 14 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, y_ct= y(1) = -1.

y''(-1) = -14 < 0 hàm số đạt cực đại tại x = -1, y_cđ= y(-1) = 3.

Câu trả lời: