Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi cái vế trái của BĐT cần c/m là P
Áp dụng BĐT Cô-si dạng \(\frac{1}{a+b+c+x+y+z}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c = x = y = z
và \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c = x = y = z
Ta có \(\frac{1}{10a+b+c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+\left(a+a\right)+\left(a+a\right)+\left(a+a\right)+\left(a+a\right)}\)
\(\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+4.\frac{1}{a+a}\right)\le\frac{1}{36}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+\frac{2}{a}\right]\)
\(=\frac{1}{36}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{2}{a}\right]\) (1)
Tương tự \(\frac{1}{10b+c+a}\le\frac{1}{36}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{2}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+\frac{2}{b}\right]\) (2)
và \(\frac{1}{10c+a+b}\le\frac{1}{36}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{2}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{2}{c}\right]\) (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được
\(P\le\frac{1}{36}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)+\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)\right]=...=\frac{1}{12}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Kết hợp \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\le\frac{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{6}\) (theo đề bài) và BĐT \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Ta có \(P^2\le\frac{1}{144}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{144}\left[\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\right]\)
\(\le\frac{1}{144}\left(\frac{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{6}+\frac{2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\right)\)
Suy ra \(P^2\le\frac{1}{144}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le\frac{1}{144}\left(\frac{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{6}+\frac{2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\right)\)
Đặt \(t=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) thì \(\frac{1}{144}t^2\le\frac{1}{144}\left(\frac{1+t}{6}+\frac{2t^2}{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(2t^2-t-1\le0\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{-1}{2}\le t\le1\)
Do đó \(P^2\le\frac{1}{144}t^2\le\frac{1}{144}.1^2=\frac{1}{144}\) \(\Rightarrow\) \(P\le\frac{1}{12}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=3\)
Bài 1:
a) Áp dụng BĐT Cô-si:
\(VT=a-1+\frac{1}{a-1}+1\ge2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}+1=2+1=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2\).
b) BĐT \(\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\)
\(\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\) ( LĐ )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=0\).
Bài 2: tương tự 1b.
Bài 3:
Do \(a,b,c\) dương nên ta có các BĐT:
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT:
\(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)( đpcm )
b2 \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=\sqrt{x}.\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{y}.\)\(\sqrt{y}.\sqrt{1-\frac{1}{y}}+\sqrt{z}.\sqrt{1-\frac{1}{z}}\)rồi dung bunhia là xong
A= \(\frac{1}{a^3}\)+ \(\frac{1}{b^3}\)+ \(\frac{1}{c^3}\)+ \(\frac{ab^2}{c^3}\)+ \(\frac{bc^2}{a^3}\)+ \(\frac{ca^2}{b^3}\)
Svacxo:
3 cái đầu >= \(\frac{9}{a^3+b^3+c^3}\)
3 cái sau >= \(\frac{\left(\sqrt{a}b+\sqrt{c}b+\sqrt{a}c\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)
Cô-si: cái tử bỏ bình phương >= 3\(\sqrt{abc}\)
=> cái tử >= 9abc= 9 vì abc=1
Còn lại tự làm
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)
Tượng tự tao có \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2}{\sqrt{bc}}\\\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{\sqrt{ca}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{1}+2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{1}+2\sqrt{2}}>\frac{1}{2\sqrt{1}+2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\)
Tương tự với các biểu thức còn lại rồi cộng vế với vế ta có:
\(VT>\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{81}-\sqrt{80}\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{81}-1\right)=4\)
Bài 1: Theo đề bài: \(VT=\left(a-1\right)+\frac{1}{\left(a-1\right)}+1\ge2\sqrt{\left(a-1\right).\frac{1}{a-1}}+1=2+1=3^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a-1\right)=\frac{1}{a-1}\Leftrightarrow a=2\)
Bài 2: \(BĐT\Leftrightarrow\left(a^2+2\right)^2\ge4\left(a^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+4a^2+4\ge4a^2+4\)
\(\Leftrightarrow a^4\ge0\) (đúng). Đẳng thức xảy ra khi a = 0
Bài 3: Hình như sai đề thì phải ạ. Nếu a = 1,5 ; b = 1 thì \(\frac{19}{10}=1,9< 3\)
5:x^2 +4x +5x + 20 =0
(x^2 + 4x).(5x+20)
x(x+4).5(x+4)
(x+4).(x+5)
[x+5=0 ->x=-5
[x+4=0 ->x=-4
\(A=\left(\frac{1}{15}+\frac{1}{16}+\frac{1}{17}+...+\frac{1}{29}\right)+\left(\frac{1}{30}+\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{44}\right)\)
\(\frac{1}{15}>\frac{1}{30};\frac{1}{16}>\frac{1}{30};....;\frac{1}{29}>\frac{1}{30}\)
\(\frac{1}{30}>\frac{1}{45};\frac{1}{31}>\frac{1}{45};\frac{1}{32}>\frac{1}{45};...;\frac{1}{44}>\frac{1}{45}\)
Mà mỗi nhóm có 15 số hạng:
\(\Rightarrow A>\frac{15.1}{30}+\frac{15.1}{45}\)
\(A>\frac{5}{6}\)
Học tốt nhé bạn!
\(A=\left(\frac{1}{15}+\frac{1}{16}+\frac{1}{17}+...+\frac{1}{29}\right)+\left(\frac{1}{30}+\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{44}\right)\)
\(\frac{1}{15}>\frac{1}{30};\frac{1}{16}>\frac{1}{30};....;\frac{1}{29}>\frac{1}{30}\)
\(\frac{1}{30}>\frac{1}{45};\frac{1}{31}>\frac{1}{45};\frac{1}{32}>\frac{1}{45};...;\frac{1}{44}>\frac{1}{45}\)
Mà mỗi nhóm có 15 số hạng:
\(\Rightarrow A>\frac{15.1}{30}+\frac{15.1}{45}\)
\(A>\frac{5}{6}\)
Học tốt nhé bạn!