Question

[Trần Quý]

a)Cho a+b+c=1. CMinh \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)

b)Cho a,b,c ≠0 và \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}< a+b+c\)

Tính giá trị biểu thức:P=\(\frac{a^2+b^2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{a^2+c^2}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{b^2+c^2}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\)

Answer 1

[Luân Đào]

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

\(\left(a+b+c\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow1\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)

Dấu "=" khi a=b=c