Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có :
\(\left(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le6\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{6}\)
Áp dụng BĐT Bunhiakovski
\(VT^2=\left(\sqrt{a+b}.1+\sqrt{b+c}.1+\sqrt{c+a}.1\right)^2\)
\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(=3.2\left(a+b+c\right)=6\)
Do đó \(VT\le\sqrt{6}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{a+b}}{1}=\dfrac{\sqrt{b+c}}{1}=\dfrac{\sqrt{c+a}}{1}\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
2, a, \(a+\dfrac{1}{a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+1}{a}\ge2\)
\(\Rightarrow a^2-2a+1\ge0\left(a>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\)( là đt đúng vs mọi a)
vậy...................
Câu 1:
\(M=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-20-10\sqrt{3}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{\left(5-\sqrt{3}\right)^2}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+25-5\sqrt{3}}}\)
\(=\sqrt{4+5}=3\)
\(M=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{5}+1}=\sqrt{6-\sqrt{5}}\)
*) ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)
Nhân vế với vế của các BĐT trên,ta được: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8abc\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
a)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\)
\(\le2\cdot\left(1+1+1\right)\left(a+b+c\right)\le6\)
\(\Rightarrow VT^2\le6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{a+\sqrt{b+\sqrt{2c}}}+\sqrt{b+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{c+\sqrt{a+\sqrt{2b}}}\right)^2\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+Σ\sqrt{b+\sqrt{2c}}\right)\)
\(=3\left(6+\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)\)
Đặt \(A^2=\left(\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)^2\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\)
\(=3\left(6+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\)
Đặt tiếp: \(B^2=\left(\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)^2\)
\(\le2\cdot\left(1+1+1\right)\left(a+b+c\right)\le36\Rightarrow B\le6\)
\(\Rightarrow A^2\le3\left(6+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\le3\cdot12=36\Rightarrow A\le6\)
\(\Rightarrow VT^2\le3\left(6+\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)\)
\(\le3\left(6+6\right)=3\cdot12=36\Rightarrow VT\le6=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c=2\)