Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Hai tam giác vuông ABE và ACF có góc A chung nên đồng dạng
\(\Rightarrow\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)
\(\Rightarrow\Delta AEF\sim\Delta ABC\) (c.g.c)
\(\Rightarrow\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}\)
Trong tam giác vuông ABE: \(cosA=\frac{AE}{AB}\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}\Rightarrow BC=20\)
\(\Rightarrow\Delta AEF\) đồng dạng tam giác \(ABC\) theo tỉ số đồng dạng \(k=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow S_{AEF}=k^2.S_{ABC}=25\)
a, tam giác ABH có: góc ABH=90 độ,vuông góc với AB
Suy ra: AM.AB=AH^2(Đ/L)
CMTT tam giác AHC: AN.AC=AH^2(Đ/L)
cả hai diều suy ra:AM.AB=AN.AC
A B C H N M
hình không đẹp lắm, mong cậu thông cảm.
Có : AH là đường cao của tam giác ABC=> goc AHB =900
Tam giác AHB vuông tại H có AM là đường cao
=> AM.AB = AH2 (dinh li d/cao trong tam giac vuong
Tam giac AHC vuong tai H có AN là đường cao
=> AN.AC = AH2 (dinh li d/cao trong tam giac vuong
Nen AM.AB =AN.AC
b,Tam giác AHB vuông tại H,=> cot B = BH/AH
Tam giác AHC vuông tại H => cotC = CH/AH
Co H thuoc BC (gt) => BC=BH+CH =[AH(BH+CH)]/AH=AH(cot B+cotC)
Lời giải:
a)
Xét tam giác $MAH$ và $HAB$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{AMH}=\widehat{AHB}=90^0\\ \text{góc A chung}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle MAH\sim \triangle HAB(g.g)\)
Do đó: \(\frac{MA}{HA}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow MA.AB=HA^2(1)\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\triangle ANH\sim \triangle AHC\Rightarrow \frac{AN}{AH}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AN.AC=AH^2(2)\)
\(\Rightarrow AN.AC=AM.AB\) (đpcm)
b)
Với tam giác $ABC$ nhọn bất kỳ, ta có công thức sau:
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC\sin A\)
Chứng minh: Kẻ \(BH\perp AC\). Khi đó \(S_{ABC}=\frac{BH.AC}{2}\)
Mà: \(\frac{BH}{AB}=\sin A\Rightarrow BH=AB.\sin A\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{BH.AC}{2}=\frac{AB.\sin A.AC}{2}\) (đpcm)
Áp dụng công thức trên vào bài toán:
\(S_{AMN}=\frac{1}{2}.AM.AN\sin A\)
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC\sin A\)
\(\Rightarrow \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{AM.AN}{AB.AC}=\frac{AM.AB.AN.AC}{AB^2.AC^2}=\frac{AH^2.AH^2}{AB^2.AC^2}\) (theo phần a)
\(=\left(\frac{AH}{AB}\right)^2\left(\frac{AH}{AC}\right)^2=\sin ^2B.\sin ^2C\) (đpcm)
Lời giải:
Xét tứ giác $BCDE$ có\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\) nên $BCDE$ là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow \widehat{AED}=\widehat{ACB}\)
Do đó \(\triangle ADE\sim \triangle ABC\) (g.g)
\(\Rightarrow \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AM}{AH}\) (trong đó $AM, AH$ tương ứng là đường cao của 2 tam giác $ADE, ABC$)
\(\Rightarrow \frac{DE}{BC}.\frac{AM}{AH}=\left(\frac{AD}{AB}\right)^2\)
\(\Rightarrow \frac{2S_{ADE}}{2S_{ABC}}=\cos ^2A\Rightarrow S_{ADE}=S_{ABC}\cos ^2A\)
\(\Rightarrow S_{BCDE}=S_{ABC}-S_{ADE}=S_{ABC}(1-\cos ^2A)=S_{ABC}\sin ^2A\)
Ta có đpcm.
Ảnh bài toán trên
Hai tam giác vuông ABM và ACN chung góc A nên đồng dạng
\(\Rightarrow\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\)
\(\Rightarrow\Delta AMN\sim\Delta ABC\Rightarrow\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}\)
Trong tam giác vuông ABM: \(cosA=\frac{AM}{AB}\Rightarrow\frac{AM}{AB}=cos45^0=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{MN}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow MN=10\sqrt{2}\)
Hai tam giác AMN và ABC đồng dạng theo tỉ số \(k=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow S_{AMN}=k^2.S_{ABC}=\frac{1}{2}S_{ABC}\)
\(S_{BCMN}=S_{ABC}-S_{AMN}=S_{ABC}-\frac{1}{2}S_{ABC}=\frac{1}{2}S_{ABC}\)
\(\Rightarrow S_{AMN}=S_{BCMN}\)