Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=1+2+2^2+...+2^{2019}\)
\(2A=2+2^2+2^3+...+2^{2019}+2^{2020}\)
\(\Rightarrow2A-A=2^{2020}-1\)
\(\Rightarrow A=2^{2020}-1\)
\(\Rightarrow A+1=B\Rightarrow A\) và B là 2 số tự nhiên liên tiếp
Xét số tự nhiên a. Ta luôn có: 2a + 1 - 2a = 2a . 2 - 2a = 2a.
Áp dụng:
Ta có: B - A = 22020 - 22019 - 22018 - 22017 - ... - 20
= 22019 - 22018 - 22017 - ... - 20
= 22018 - 22017 - 22016 - ... - 20
= ... = 21 - 20 = 20 = 1.
Do đó A, B là hai số tự nhiên liên tiếp.
Thay 1=\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\)vào va rút gọn ta được
VT= \(\frac{4}{3}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}\right)+\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\)(1)
Áp dụng \(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\left(bunhiacopxky\right)\) ta được
(1) \(\ge\frac{4}{3}\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}+\frac{1}{3}\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}+\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)=2\left(a+b+c\right).\)
Dấu'=' khi a=b=c
\(VT=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+b-\frac{b}{b^2+1}+1-\frac{a^2}{a^2+1}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(b^2+1\ge2b\)
\(a^2+1\ge2a\)
cộng theo vế:\(VT\ge a+b+1-\frac{ab^2}{2ab}-\frac{b}{2b}-\frac{a^2}{2a}=a+b+1-\frac{b}{2}-\frac{1}{2}-\frac{a}{2}=\frac{a+b+1}{2}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=1
VT=a−ab2a2+b2 +b−bb2+1 +1−a2a2+1
Áp dụng BĐT AM-GM:a2+b2≥2ab
b2+1≥2b
a2+1≥2a
cộng theo vế:VT≥a+b+1−ab22ab −b2b −a22a =a+b+1−b2 −12 −a2 =a+b+12
Dấu = xảy ra khi a=b=1
â,b dương nhé
Bài toán chán ngắt, hoàn toàn yếu đuổi nhưng cho con số to để hù dọa 1 cách vô nghĩa
\(a^2+4036ab+b^2\ge4038ab\)
\(\Rightarrow\frac{1}{ab}\ge\frac{4038}{a^2+4036ab+b^2}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge\frac{4038\left(a-b\right)^2}{a^2+4036ab+b^2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2+\frac{4038\left(a-b\right)^2}{a^2+4036ab+b^2}\) (1)
Hoàn toàn tượng tự ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2+\frac{2040\left(a-b\right)^2}{a^2+4038ab+b^2}\) (2)
Cộng vế với vế (1) và (2) ta có đpcm