Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mình năm nay lớp 7 nên chưa chắc đúng đâu nha :
\(a\left(b+1\right)+b\left(a+1\right)=\left(a+b\right)\left(b+1\right)\left(1\right)\)
=) \(ab+a+ab+b=\left(a+b\right)\left(b+1\right)\)
=) \(1+a+1+b=\left(a+b\right)\left(b+1\right)\)
=) \(2+a+b=\left(a+b\right)\left(b+1\right)\)
=) \(2=\left(a+b\right)\left(b+1\right)-\left(a+b\right)\)
=) \(2=\left(a+b\right).\left(b+1-1\right)\)=) \(2=\left(a+b\right).b=ab+b^2\)
=) \(2=1+b^2\)=) \(b^2=2-1=1\)=) \(b=1\)
=) \(a=1:b=1:1=1\)
Thay vào \(\left(1\right)\):
\(1.\left(1+1\right)+1.\left(1+1\right)=\left(1+1\right).\left(1+1\right)\)
=) \(1.2+1.2=2.2\)
=) \(4=4\)( Đúng )
Vậy nếu \(ab=1\Leftrightarrow a\left(b+1\right)+b\left(a+1\right)=\left(a+b\right)\left(b+1\right)\left(ĐPCM\right)\)
Từ giả thiết ta có: \(ab+bc+ca=abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Xét vế trái: \(\frac{a^4+b^4}{ab\left(a^3+b^3\right)}+\frac{b^4+c^4}{bc\left(b^3+c^3\right)}+\frac{c^4+a^4}{ca\left(c^3+a^3\right)}\)\(=\frac{\frac{a^4+b^4}{a^4b^4}}{\frac{ab\left(a^3+b^3\right)}{a^4b^4}}+\frac{\frac{b^4+c^4}{b^4c^4}}{\frac{bc\left(b^3+c^3\right)}{b^4c^4}}+\frac{\frac{c^4+a^4}{c^4a^4}}{\frac{ca\left(c^3+a^3\right)}{c^4a^4}}\)
\(=\frac{\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}}{\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}}+\frac{\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}}{\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}}+\frac{\frac{1}{c^4}+\frac{1}{a^4}}{\frac{1}{c^3}+\frac{1}{a^3}}\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=1\end{cases}}\)
và ta cần chứng minh \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge1\)
Ta xét BĐT phụ sau: \(\frac{p^4+q^4}{p^3+q^3}\ge\frac{p+q}{2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(p-q\right)^2\left(p^2+pq+q^2\right)\ge0\)(đúng với mọi số thực p,q)
Áp dụng ta có: \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)(1); \(\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}\ge\frac{y+z}{2}\)(2); \(\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{z+x}{2}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được:
\(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=1\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)hay a = b = c = 3
e)\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(=1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\)
\(=\left(1+1\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
\(=2+\left(\frac{a.a}{b.a}+\frac{b.b}{a.b}\right)\)
\(=2+\frac{a.a+b.b}{b.a}\)
Vì \(\frac{a.a+b.b}{a.b}>=2\)
Nên \(2+\frac{a.a+b.b}{a.b}>=2+2=4\)
Hay \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)>=4\)
a) \(a^2+b^2-2ab\)
\(=\left(a-b\right)^2\)
Vì \(\left(a-b\right)^2\) là binh phương của một số nên \(\left(a-b\right)^2>=0\)
Hay \(a^2+b^2-2ab>=0\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^3-c^3+3ab\left(a-b\right)-3abc}{a^2+2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2+2ca+a^2}\)
\(=\frac{\left(a-b-c\right)\left(a^2-2ab+b^2+ac-bc+c^2\right)+3ab\left(a-b-c\right)}{\left(a-b-c\right)^2+a^2+b^2+c^2}\)
\(=\frac{\left(\cdot a-b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2+ac+ab-bc\right)}{4+a^2+b^2+c^2}\)
\(=\frac{2a^2+2b^2+2c^2+2ab-2bc+2ca}{4+a^2+b^2+c^2}\)
\(=\frac{\left(a-b-c\right)^2+a^2+b^2+c^2}{4+a^2+b^2+c^2}=1\)
k mk nha
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
Ta có: ab(a+b)-\(\frac{ab\left(a^3+b^3\right)}{a^2+2ab+b^2}\)
=\(ab\left(a+b\right)\)-\(\frac{ab\left(a^3+b^3\right)}{\left(a+b\right)^2}\)
=\(\frac{ab\left(a+b\right)^3}{\left(a+b\right)^2}\)-\(\frac{ab\left(a^3+b^3\right)}{\left(a+b\right)^2}\)
=\(\frac{ab\left[\left(a+b\right)^3-\left(a^3+b^3\right)\right]}{\left(a+b\right)^2}\)
=\(\frac{ab.3ab\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)^2}\)
=\(\frac{3\left(ab\right)^2}{a+b}\)