TN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
CD
0
16 tháng 7 2018
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) và BĐT AM-GM ta có:
\(P=\frac{2}{a^2+b^2}+\frac{2}{2ab}+\frac{32}{ab}+2ab+\frac{2}{ab}\)
\(\ge\frac{2.4}{a^2+b^2+2ab}+2\sqrt{\frac{32}{ab}.2ab}+\frac{2}{ab}\)
\(\ge\frac{8}{\left(a+b\right)^2}+2.\sqrt{64}+\frac{2}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\)
\(\ge\frac{8}{4^2}+2.8+\frac{8}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{1}{2}+16+\frac{8}{4^2}=\frac{1}{2}+16+\frac{1}{2}=17\)
Nên GTNN của P là 17 đạt được khi a=b=2
LT
1
PN
17 tháng 10 2017
Ta có: \(a^2+b^2=4\Rightarrow2ab=a+b^2-4\)
\(\Rightarrow2M=\frac{a+b^2-4}{a+b+2}=a+b-2\)
Ta có: \(a+b\le\sqrt{2.a^2+b^2}=2\sqrt{2}\Rightarrow M\le\sqrt{2}-1\)
Dấu \(=\)xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=\sqrt{2}\)
Vậy: GTLN của \(M=\sqrt{2}-1\)khi \(a=b=\sqrt{2}\)
P/s: Ko chắc lắm
9 tháng 6 2017
a) Bình phương 2 vế được: \(\frac{4ab}{a+b+2\sqrt{ab}}\le\sqrt{ab}\)
<=> \(4ab\le\sqrt{ab}\left(a+b\right)+2ab\)
<=>\(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\ge2ab\)
<=>\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt[4]{ab}\forall a,b>0\)
SN
6 tháng 1 2019
Ta có:
\(A-B=\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}>0\)
Do đó: B < A và:
\(\frac{\left(a-b\right)^2}{8\left(A-B\right)}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{4\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}\)
Mà: \(\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}=\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}=\frac{a+b}{4}+\frac{\sqrt{ab}}{2}=\frac{A+B}{2}\)
\(B< A\Rightarrow B< \frac{A+B}{2}< A\left(đpcm\right)\)
10 tháng 3 2018
a^4 +b^4 >= ab^3 +a^3 b (1)
<=> 4a^4 +4b^4 - 4ab(a^2 +b^2) >= 0
<=> [(a^2 +b^2 )^2 - 4ab(a^2 +a^2) +4a^2 b^2 ] +3a^4 +3b^4 -6a^2 b^2 >=0
<=> (a -b )^4 +3(a^4 + b^4 -2a^2 b^2 ) >= 0 (2)
cos (a-b )^4 >= 0
a^4 + b^4 >= 2a^2 b^2 (co si có thể không cần co si cũng được )
=> (2) đúng => (1) đúng => dpcm
b) a^2 +b^2 +1 >= ab +a+b (1)
<=>2a^2 +2b^2 +2 -2ab -2a-2b >=0
<=>[a^2 +b^2 -2ab ] +[a^2 -2a +1] +[b^2 -2b +1 ] >=0
<=>(a -b)^2 +(a-1)^2 + (b-1)^2 >=0 (2)
(2) đúng (1) đúng => dpcm