VN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
30 tháng 12 2016
Đề đúng; Với a>1; b>1. Tìm GTNN \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\ge8\) ta cm nó như sau:
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge8\left(a+b\right)-16\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)^2\ge0\)
TT
1
T
29 tháng 1 2019
Ta có: \(VT=\left[\frac{a^2}{b-1}+4\left(b-1\right)\right]+\left[\frac{b^2}{a-1}+4\left(a-1\right)\right]-4a-4b+8\)
\(\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b-1}.4\left(b-1\right)}+2\sqrt{\frac{b^2}{a-1}.4\left(a-1\right)}-4a-4b+8\)
\(=2.2a+2.2b-4a-4b+8\)
\(=\left(4a-4a\right)+\left(4b-4b\right)+8=8^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a^2}{b-1}=4\left(b-1\right);\frac{b^2}{a-1}=4\left(a-1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2=b^2=4\Leftrightarrow a=b=2\)(t/m)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 9 2019
\(P=\frac{\left(a+1\right)^2}{b}+\frac{\left(b+1\right)^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+2\right)^2}{a+b}=\frac{\left(a+b\right)^2+4\left(a+b\right)+4}{a+b}\)
\(\Rightarrow P\ge a+b+\frac{4}{a+b}+4\ge2\sqrt{\frac{4\left(a+b\right)}{a+b}}+4=8\)
\(\Rightarrow p_{min}=8\) khi \(a=b=1\)
PD
0
8 tháng 7 2019
Từ \(a+b+c=1\) thế vào biểu thức sau
\(\left(\frac{1}{a}-1\right)\left(\frac{1}{b}-1\right)\left(\frac{1}{c}-1\right)=\left(\frac{a+b+c}{a}-\frac{a}{a}\right)\left(\frac{a+b+c}{b}-\frac{b}{b}\right)\left(\frac{a+b+c}{c}-\frac{c}{c}\right)\)
\(=\frac{b+c}{a}.\frac{a+c}{b}.\frac{a+b}{c}=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{abc}\)(1)
Với a,b,c>0 , Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (cauchy) cho hai số không âm ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab};b+c\ge2\sqrt{bc};a+c\ge2\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8abc\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left(\frac{1}{a}-1\right)\left(\frac{1}{b}-1\right)\left(\frac{1}{c}-1\right)\ge\frac{8abc}{abc}=8\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=1\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=\frac{1}{3}\)
PN
10 tháng 2 2021
có ở trong câu hỏi tương tự nhé
\(S=13\left(\frac{a}{18}+\frac{c}{24}\right)+13\left(\frac{b}{24}+\frac{c}{48}\right)+\left(\frac{a}{9}+\frac{b}{6}+\frac{2}{ab}\right)+\left(\frac{a}{18}+\frac{c}{24}+\frac{2}{ac}\right)+\left(\frac{b}{8}+\frac{c}{16}+\frac{2}{bc}\right)+\left(\frac{a}{9}+\frac{b}{6}+\frac{c}{12}+\frac{8}{abc}\right)\)Cô si các ngoặc là được nhé
VT
17 tháng 3 2020
Điều kiện a,b>0 và a+b=1
Có \(\frac{3}{a^2+b^2+ab}\ge\frac{3}{a^2+b^2+\frac{a^2+b^2}{2}}=\frac{3}{\frac{3\left(a^2+b^2\right)}{2}}=\frac{2}{a^2+b^2}\)
Do đó \(\frac{1}{ab}+\frac{3}{a^2+b^2+ab}\ge\frac{2}{2ab}+\frac{2}{a^2+b^2}=2\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)\ge2\left(\frac{\left(1+1\right)^2}{a^2+b^2+2ab}\right)=\frac{8}{\left(a+b\right)^2}=8\left(đpcm\right)\)
T
10 tháng 7 2019
Bài 1:Thêm đk a > b > 0
\(VT=a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi \(a-b=b=\frac{1}{b\left(a-b\right)}\Leftrightarrow a=2;b=1\)
Bài 2: BĐT \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)+\left(b+1\right)+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\ge4\) (Thêm 1 vào hai vế +bớt + thêm b)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)+\frac{1}{2}\left(b+1\right)+\frac{1}{2}\left(b+1\right)+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\ge4\) (tách \(b+1=\frac{1}{2}\left(b+1\right)+\frac{1}{2}\left(b+1\right)\))
Áp dụng BĐT Cô si cho 4 số dương ta thu được đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi \(a-b=\frac{1}{2}\left(b+1\right)=\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow a=2;b=1\) (chị giải rõ ra nha, em làm tắt thôi)
Bài 3 để sau ạ, có lẽ cần thêm đk b > 0. Khi đó a/ b > 1 tức là a > b và > 0
T
10 tháng 7 2019
Dự đoán điểm rơi tại a = 1; b = 1/2
Em nghĩ ra rồi nhưng ko chắc đâu.
Bài 3: Dễ thấy b > 0 => a > b > 0
Trước tiên cần giảm bậc cái đã:D
\(2a^3+1=a^3+a^3+1\ge3\sqrt[3]{a^6.1}=3a^2\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 1 (1)
Do vậy: \(\frac{2a^3+1}{4b\left(a-b\right)}\ge\frac{3a^2}{4ab-4b^2}\). Do a > b > 0. Chia hai vế cho b2 ta được:
\(\frac{2a^3+1}{4b\left(a-b\right)}\ge\frac{3\left(\frac{a}{b}\right)^2}{4.\frac{a}{b}-4}=\frac{3t^2}{4t-4}\) với \(t=\frac{a}{b}>1\)
Ta cần chứng minh \(\frac{3t^2}{4t-4}\ge3\Leftrightarrow\frac{t^2}{4t-4}\ge1\Leftrightarrow t^2-4t+4\ge0\Leftrightarrow\left(t-2\right)^2\ge0\) (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2b tức là theo (1) suy ra \(b=\frac{1}{2}\)
Ta có đpcm.
\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\left(BĐTbun\right)\)
TA cm : \(\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\ge8\) . Đặt a + b = t
BPT <=> \(\frac{t^2}{t-2}\ge8\Leftrightarrow t^2\ge8t-16\Leftrightarrow t^2-8t+16\ge0\Leftrightarrow\left(t-4\right)^2\ge0\)
BĐt luôn đúng với mọi t
Dấu ''= '' xảy ra khi \(\int^{\frac{a}{b-1}=\frac{b}{a-1}}_{a+b=4}\Rightarrow a=b=2\)