a4+b4≤\(\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\)

\(\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\)

">

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Mua vip

HT

Hoàng Thị Mai Trang

4 tháng 4 2020

a⁴+b⁴≤\(\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

MT

Mathematics❤Trần Trung Hiếu❤Music

5 tháng 4 2020

Violympic toán 8

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

NM

Nguyễn Minh Tuyền

10 tháng 5 2017 - olm

1, Cho x+y=2 Chứng minh x⁴+y⁴\(\ge2\)

2,Với mọi a,b Chứng minh a⁴+ b⁴\(\ge a^3b+ab^3\)

3, Cho a>0 , b>0. Chứng minh \(\frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{a}\ge\sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}}\)

4, Chứng minh: x⁴+y⁴\(\le\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\)với xva2 y khác 0.

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

2

NK

nguyễn kim thương

11 tháng 5 2017

Bài 2:

\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)

Dấu " = " xảy ra khi a = b

tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11

T

tth_new

27 tháng 3 2019

1/Thêm 6 vào 2 vế,ta cần c/m:

\(\left(x^4+1+1+1\right)+\left(y^4+1+1+1\right)\ge8\)

Thật vậy,áp dụng BĐT AM-GM cho cái biểu thức trong ngoặc,ta được:

\(VT\ge4\left(x+y\right)=4.2=8\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1 (loại x = y = -1 vì không thỏa mãn x + y = 2)

TY

Thị Yến Nhi Phạm

28 tháng 7 2017 - olm

Chứng minh : a⁴ + b⁴ <= \(\frac{a^6}{b^2}\)+ \(\frac{b^6}{a^2}\)với a, b khác 0

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

TA

Thiên An

29 tháng 7 2017

Ta có \(2a^2b^2\le a^4+b^4\) \(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a, b thực)

Theo BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel

\(\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}=\frac{a^8}{a^2b^2}+\frac{b^8}{a^2b^2}\ge\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2a^2b^2}\ge\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{a^4+b^4}=a^4+b^4\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

HL

Hang Le

21 tháng 3 2019

Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1, x3 + y3 \(\ge\)x2y+xy2 (x, y \(\ge\)0) 2, x4+ y4 \(\ge\)x3y+xy3 3, a2+b2+1\(\ge\)ab+a+b 4, a2+b2+c2+\(\frac{3}{4}\)\(\ge\)a+b+c 5,a2+b2+c2+d2\(\ge\)a(b+c+d) 6, x3-4x+5 >0 7, a4+b4+2 \(\ge\)4ab 8, \(\frac{ab}{a+b}\)+\(\frac{bc}{b+c}\)+\(\frac{ca}{c+a}\le\)\(\frac{a+b+c}{2}\)(với...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

2

NN

nguyễn ngọc dinh

21 tháng 3 2019

Ý 3 bạn bỏ dòng áp dụng....ta có nhé

\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}b+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}c+c^2\right)+\)\(\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{d}d+d^2\right)+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)+\left(\frac{a}{2}-c\right)+\)\(\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=d=0

6) Sai đề

Sửa thành:\(x^2-4x+5>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+1>0\)

7) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a+b\ge2.\sqrt{ab}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{ab}{2.\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\frac{cb}{c+b}\le\frac{cb}{2.\sqrt{cb}}=\frac{\sqrt{cb}}{2}\)

\(\frac{ca}{c+a}\le\frac{ca}{2.\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{ca}}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

Cộng vế với vế của các BĐT trên ta có:

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\le\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}}{2}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

NN

nguyễn ngọc dinh

21 tháng 3 2019

1)\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-xy+y^2\ge xy\) ( vì x;y\(\ge0\))

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )

\(\Rightarrow x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

2) \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

3) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)\(\forall a\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2}\ge a\forall a\)

\(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\)\(\forall b\Leftrightarrow\frac{b^2}{2}+\frac{1}{2}\ge b\forall b\)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\forall a;b\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}\ge ab\forall a;b\)

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:

\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1

4) \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\left[a^2-2.a.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[b^2-2.b.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[c^2-2.c.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a;b;c\)( luôn đúng)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/2

TH

Trần Huỳnh Khả My

29 tháng 10 2020

a) -\(\frac{1}{2}\)x2y(2x3-\(\frac{2}{5}\) xy2-1)+\(\frac{1}{3}\) x6y2 : \(\frac{1}{9}\) xy b) Tim x bt: x(x-3)-x2+9=0 c) CM: (a+b)3-2b(3a2+b2)=(a-b)3 d) -16x4y6-24x5y5-9x6y4 ...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

0

E1

endermen 123

18 tháng 7 2020 - olm

rút gọn biểu thức sau

a) (a+b)²+(a-b)²-6a²b

b) (a+b)³-(a-b)³-6a²b

(hộ mk phần này nha)

\(\frac{x^3}{8}\)+\(\frac{x^2y}{4}\)+\(\frac{xy^2}{6}\)+\(\frac{y^3}{27}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

5

LD

l҉o҉n҉g҉ d҉z҉

18 tháng 7 2020

Áp dụng HĐT thôi bạn =)

a) ( a + b )² + ( a - b )² - 6a²b

= a² + 2ab + b² + a² - 2ab + b² - 6a²b

= 2a² + 2b² - 6a²b

= 2( a² + b² - 3a²b )

b) ( a + 3 )³ - ( a - b )³ - 6a²b

=( a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ) - ( a³ - 3a²b + 3ab² - b³ ) - 6a²b

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ - a³ + 3a²b - 3ab² + b³ - 6a²b

= 2b³

E1

endermen 123

18 tháng 7 2020

bạn ghi nhầm rồi nha b chứ 3 đau

HL

Hang Le

21 tháng 3 2019 - olm

Chứng minh các bất đẳng thức sau:1, x3 + y3 \(\ge\)x2y+xy2 (x, y \(\ge\)0)2, x4+ y4 \(\ge\)x3y+xy3 3, a2+b2+1\(\ge\)ab+a+b4, a2+b2+c2+\(\frac{3}{4}\)\(\ge\)a+b+c5,a2+b2+c2+d2\(\ge\)a(b+c+d)6, x3-4x+5 >07, a4+b4+2 \(\ge\)4ab 8, \(\frac{ab}{a+b}\)+\(\frac{bc}{b+c}\)+\(\frac{ca}{c+a}\le\)\(\frac{a+b+c}{2}\)(với...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

LG

lê gia bảo

21 tháng 3 2019

\(1,\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\))
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge o\)

LN

Lê Ngọc Mai

4 tháng 10 2019 - olm

Cho các số a,b,x,y là các số thực thỏa mãn:x²+y²=1 và\(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{1}{a+b}\)

Chứng minh rằng:\(\frac{x^6}{a^3}+\frac{y^6}{b^3}=\frac{2}{\left(a+b\right)^3}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

N

Nyatmax

4 tháng 10 2019

Ta co:

\(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)

Dau '=' xay ra khi \(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}\)

Ta lai co:

\(\frac{x^6}{a^3}+\frac{y^6}{b^3}=\left(\frac{x^2}{a}\right)^3+\left(\frac{y^2}{b}\right)^3=2\left(\frac{x^2}{a}\right)^3\)

Ma \(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)

\(\Rightarrow x^2=\frac{a}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a}=\frac{1}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{a}\right)^3=\frac{1}{\left(a+b\right)^3}\)

\(\Rightarrow\frac{x^6}{a^3}+\frac{y^6}{b^3}=\frac{2}{\left(a+b\right)^3}\)

I

ITACHY

16 tháng 3 2019

1CMR: x²+y²+8\(\ge\) xy+2x+2y

2 Cho a+b+c=6 . Cmr: \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{3}{4}\)

3 Cho x+y+z+xy+yz+zx=6. Cmr: x²+y²+z²\(\ge3\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

KB

Khôi Bùi

16 tháng 3 2019

1 ) Đề bài > not \(\ge\)

Giả sử đpcm là đúng , khi đó , ta có :

\(x^2+y^2+8>xy+2x+2y\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+16>2xy+4x+4y\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-4y+4\right)+8>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8>0\left(1\right)\)

Do \(\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8\ge8>0\forall x;y\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) => Điều giả sử là đúng => đpcm

2 ) ĐK : a ; b ; c không âm

Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) ( cái này bạn áp dụng BĐT Cô - si để c/m ) , ta có :

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{a+b+b+c+c+a}=\frac{9}{6.2}=\frac{3}{4}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)

3 ) Áp dụng BĐT Cô - si cho các cặp số không âm , ta có :

\(x^2+y^2\ge2xy;y^2+z^2\ge2yz;x^2+z^2\ge2xz\)

\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\left(1\right)\)

\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có : \(2x^2+2y^2+2z^2+x^2+y^2+z^2+3\ge2xy+2yz+2xz+2x+2y+2z\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\left(x+y+z+2xy+2xz+2yz\right)=2.6=12\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+1\ge4\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

NH

Nguyễn Hữu Hiếu

8 tháng 10 2016 - olm

1: Cho 1+2+3+....+n chia hết cho 6 Chứng minh 13+23+33+...+n3 chia hết cho 62: Phân tích: a4.(b-c)-b4.(c-a)+c4.(a-b)3: Cho a+b+c=1 và \(\frac{1}{a}\)+ \(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)= 0Chứng minh a2+b2+c2=04 Phân tích A=...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

0