Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=2\)
\(\Leftrightarrow x+y=2xy\Leftrightarrow4xy=2x+2y\)
\(\Leftrightarrow4xy-2x-2y=0\Leftrightarrow2x\left(2y-1\right)-\left(2y-1\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(2y-1\right)=1=1.1=\left(-1\right).\left(-1\right)\)
\(TH1:\hept{\begin{cases}2x-1=1\\2y-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)
\(TH1:\hept{\begin{cases}2x-1=-1\\2y-1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\left(L\right)\)
Vậy x = y = 1
b) A là số chính phương nên ta đặt \(n^2+2n+8=a^2\)
\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^2+7=a^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-\left(n+1\right)^2=7\)
\(\Leftrightarrow\left(a-n-1\right)\left(a+n+1\right)=7=1.7=7.1\)
\(=\left(-1\right).\left(-7\right)=\left(-7\right).\left(-1\right)\)
Lập bảng:
| \(a-n-1\) | \(1\) | \(7\) | \(-1\) | \(-7\) |
| \(a+n+1\) | \(7\) | \(1\) | \(-7\) | \(-1\) |
| \(a-n\) | \(2\) | \(8\) | \(0\) | \(-6\) |
| \(a+n\) | \(6\) | \(0\) | \(-8\) | \(-2\) |
| \(a\) | \(4\) | \(4\) | \(-4\) | \(-4\) |
| \(n\) | \(2\) | \(-4\) | \(-4\) | \(2\) |
Mà n là số tự nhiên nên n = 2.
a) Nếu \(3^n+55\) là một số chính phương thì
\(3^n+55=a^2\) ( a là số tự nhiên )
\(\Leftrightarrow3^n+64-9=a^2\) \(\Leftrightarrow3^n+8^2=a^2+9\)
do a, n là số tự nhiên nên
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}3^n=a^2\\8^2=9\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}3^n=9\\a^2=8^2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
dễ thấy ngoặc đầu loại, do đó từ ngoặc thứ hai ta có n = 2 và a = 8
thay lại thấy thỏa mãn vậy n = 2 và n = 8
b) Do a + 1 và 2a + 1 là hai số chính phương nên
\(\left\{{}\begin{matrix}a+1=n^2\\2a+1=m^2\end{matrix}\right.\)
Giả sử a không chia hết cho 3 nên a có dạng
\(\left[{}\begin{matrix}a=3k+1\\a=3k+2\end{matrix}\right.\)
*nếu a = 3k + 1 thì a + 1 = 3k + 2 = n2 mà n2 là một số chính phương nên chia cho 3 không thể dư 2 = > loại
* nếu a = 3k + 2 thì 2a + 1 =6k + 5 = 3(2k+1) +2 = m2 => loại trường hợp này
vậy điều giả sử là sai => a chia hết 3
Ta đi chứng minh a chia hết cho 8
Ta có : 2a + 1 = m2 ; do 2a + 1 là một số lẻ nên m lẻ
=> m = 2k +1 ( k thuộc N) => 2a+1 = (2k+1)2
=> \(2a+1=4k^2+4k+1\Rightarrow a=2k\left(k+1\right)\) vậy a là số chẵn
=> a=2q => a+1=2q+1 \(\Rightarrow a+1=\left(2q+1\right)^2\) \(\Leftrightarrow a+1=4q^2+4q+1\Leftrightarrow a=4q\left(q+1\right)\)
do q là số tự nhiên nên q và q+1 là hai số tự nhiên liên tiếp vậy
\(\Rightarrow q\left(q+1\right)⋮2\Rightarrow4q\left(q+1\right)⋮8\Rightarrow a⋮8\)
vậy \(a⋮8\) mà \(\left(3,8\right)=1\) nên \(a⋮24\)