Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b)a(b-c)3+b(c-a)3+c(a-b)3
Bạn tự tách trong ngoặc ra nhá
=ab3-ac3+bc3-a3b+a3c-b3c
=b3(a-c)+ac(a2-c2)-b(a3-c3)
=b3(a-c)+ac(a-c)(a+c)-b(a-c)(a2+ac+c2)
=(a-c)[b3+ac(a+c)-b(a2+ac+c2)]
=(a-c)(b3+a2c+ac2-ba2-abc-bc2)
=(a-c)[ac(a+c)+b(b2-a2)-bc(a+c)]
=(a-c)[c(a+c)(a-b)-b(a-b)(a+b)]
=(a-c)(ca+c2-ab-b2)(a-b)
\(\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)
\(=\left(a+b+c-a\right)\left[\left(a+b+c\right)^2+a\left(a+b+c\right)+a^2\right]-\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)\)
\(=\left(b+c\right)\left(3a^2+3ab+3bc+3ac\right)\)
\(=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
a/CM: \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng với mọi a,b>0)
CM: \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{4}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\) ( luôn đúng)
b/CM: \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\frac{4\left(a^3+b^3\right)}{8}\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{8}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3\right)\ge3a^2b+3ab^2\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) ( luôn đúng với mọi a,b>0)
c/CM: \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+b^2+ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+\frac{2ab}{2}+\frac{b^2}{4}+\frac{3b^2}{4}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\right)\ge0\) ( luôn đúng)
d/Ta xét hiệu: \(a^4-4a+3\)
\(=a^4-2a^2+1+2a^2-4a+2\)
\(=\left(a-1\right)^2+2\left(a-1\right)^2\ge0\)
Suy ra BĐT luôn đúng
e/Ta xét hiệu:( Làm nhanh)
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right)\ge0\)
f/Ta có: \(\frac{a^6}{b^2}-a^4+\frac{a^2b^2}{4}+\frac{b^6}{a^2}-b^4+\frac{a^2b^2}{4}\)
\(=\left(\frac{a^3}{b}-\frac{ab}{2}\right)^2+\left(\frac{b^3}{a}-\frac{ab}{2}\right)^2\ge0\)(1)
Mà \(\frac{a^2b^2}{4}+\frac{a^2b^2}{4}\ge0\)(2)
Lấy (1) trừ (2) được: \(\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}-a^4-b^4\ge0\RightarrowĐPCM\)
g/Làm rồi..xem lại trong trang cá nhân
h/Xét hiệu có: \(\left(a^5+b^5\right)\left(a+b\right)-\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(=a^5b+ab^5-a^2b^4-a^4b^2\)
\(=a^4b\left(a-b\right)-ab^4\left(a-b\right)\)
\(=ab\left(a^2-b^2\right)\left(a-b\right)\)
\(=ab\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\forall ab>0\)
Suy ra ĐPCM
a) A = (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3
Đặt : a - b = x ; b - c = y; c - a = z thì x + y + z = 0
Do đó: \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Vậy A = \(3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
b) B = (a + b - 2c)3 + (b + c - 2a)3 + (c + a - 2b)3
Đặt : a + b - 2c = x ; b + c - 2a = y ; c + a - 2b = z
Thì x + y + z = 0 do đó \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Vậy B = 3(a + b - 2c)(b + c - 2a)(c + a - 2b)
a) Ta có: \(A=\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3\)
\(=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3+b^3-3b^2c+3bc^2-c^3+c^3-3c^2a+3ca^2-a^3\)
\(=-3\left(a^2b+ac^2-ab^2-bc^2+b^2c-a^2c\right)\)
\(=3\left[\left(a^2b-ab^2\right)+\left(ac^2-bc^2\right)-\left(a^2c-b^2c\right)\right]\)
\(=3\left[ab\left(a-b\right)+c^2\left(a-b\right)-c\left(a^2-b^2\right)\right]\)
\(=3\left[ab\left(a-b\right)+c^2\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\left(a+b\right)\right]\)
\(=3\left(a-b\right)\left[ab+c^2-c\left(a+b\right)\right]\)
\(=3\left(a-b\right)\left(ab+c^2-ca-cb\right)\)
\(=3\left(a-b\right)\left[\left(ab-ac\right)-\left(bc-c^2\right)\right]\)
\(=3\left(a-b\right)\left[a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)\right]\)
\(=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)
b) 
Viết các biểu thức dưới dạng lập phương của một tổng (các bài 95, 96)
Bài 95:
\(u^3+v^3+3u^2v+3uv^2\)
\(=\left(u+v\right)^3.\)
\(27y^3+9y^2+y+\frac{1}{27}\)
\(=\left(3y\right)^3+3.\left(3y\right)^2.\frac{1}{3}+3.3y.\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^3\)
\(=\left(3y+\frac{1}{3}\right)^3.\)
Mình chỉ làm thế thôi nhé.
Chúc bạn học tốt!
Bài 92 : \(\left(2x+yz\right)^3=8x^3+12x^2yz+6xy^2z^2+y^3z^3\)
Bài 93 : \(\left(2xy^2+\frac{1}{2}y^3\right)^3=8x^3y^6+6x^2y^7+\frac{3}{2}xy^8+\frac{1}{8}y^9\)
Bài 94 : \(\left(4xy^2+x^3y^3\right)^3=64x^3y^6+48x^5y^5+12x^7y^4+x^9y^3\)
Bài 95 : \(\left(u+v\right)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3\)
Bài 96 : \(\left(3y+\frac{1}{3}\right)^3=27y^3+9y^2+y+\frac{1}{27}\)
Bài 97 :
Ta có : \(x\left(x-3y\right)^2+y\left(y-3x\right)^2\)
= \(x\left(x^2-6xy+9y^2\right)+y\left(y^2-6xy+9x^2\right)\)
= \(x^3-6x^2y+9xy^2+y^3-6xy^2+9x^2y\)
= \(x^3+y^3+3xy\left(-2x+3y-2y+3x\right)\)
= \(x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\)
= \(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\) = \(\left(x+y\right)^3\) ( ĐPCM )
Bài 98 :
Ta có : \(x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\)
= \(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\) = \(\left(x+y\right)^3\) ( ĐPCM )
Bài 99 :
Ta có : \(\left(a+b+c\right)^3=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+a^3+b^3+c^3\) ( Chứng minh theo nhị thức newton hoặc giải \(\left(a+b+c\right)^3\) )
=> \(\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) ( Chuyển vế )
Bài 4:
=>x(x^2+1)=0
=>x=0
Bài 5:
=>\(3n^3+n^2+9n^2-1-4⋮3n+1\)
=>\(3n+1\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)
hay \(n\in\left\{0;-1;1\right\}\)
Bài 3:
\(a^3+b^3+c^3-3bac\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)
Bài 2: Thực hiện các phép tính, sau đó tính giá trị biểu thức
\(a,A=\left(x^3-x^2y+xy^2-y^3\right)\left(x+y\right)\)
\(=x^4+x^3y-x^3y-x^2y^2+x^2y^2+xy^3-xy^3-y^4\)
\(=x^4-y^4\)
Thay x = 2 ; y = - \(\dfrac{1}{2}\) vào biểu thức trên ,có :
\(2^4-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^4=16-\dfrac{1}{16}=\dfrac{256-1}{16}=\dfrac{255}{16}\)
Vậy tại x = 2 ; y = - \(\dfrac{1}{2}\) giá trị biểu thức là \(\dfrac{255}{16}\)
\(b,B=\left(a-b\right)\left(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4\right)\)
\(=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4-a^4b-a^3b^2-a^2b^3-b^5\)
\(=a^5-b^5\)
Thay a = 3 ; b = -2 vào biểu thức trên ,có :
\(3^5-\left(-2\right)^5=275\)
Vậy tại a = 3 ; b = -2 giá trị biểu thức là \(275\)
\(c,C=\left(x^2-2xy+2y^2\right)\left(x^2+y^2\right)+2x^3y-3x^2y^2+2xy^3\)
\(=x^4+x^2y^2-2x^3y-2xy^3+2x^2y^2+2y^4+2x^3y-3x^2y^2+2xy^3\)
\(=x^4+2y^4\)
Thay x = \(-\dfrac{1}{2};y=-\dfrac{1}{2}\) vào biểu thức trên ,có :
\(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^4+2.\left(-\dfrac{1}{2}\right)^4=\dfrac{1}{16}+\dfrac{2}{16}=\dfrac{3}{16}\)
Vậy tại x = \(-\dfrac{1}{2};y=-\dfrac{1}{2}\) giá trị của biểu thưc là \(\dfrac{3}{16}\)
Xét hiệu
\(a^3-a^2+b^3-b^2+c^3-c^2=0\)
<=>\(a^2(a-1)+b^2(b-1)+c^2(c-1)=0\)
Ta có:\(a^2+b^2+c^2=1\)
=>\(a^2\le1\)
=>|a|\(\le1\)
Mà|a|\(\ge a\)
=>a \(\le1\)
=>\(a^2(a-1)\le0\)
CMTT:\(b^2(b-1)\le0\)
\(c^2(c-1)\le0\)
Mà \(a^2(a-1)+b^2(b-1)+c^2(c-1)=0\)
Dấu "=" xảy ra<=>a=1=>b=c=0
b=1=>a=c=0
c=1=>a=b=0
=>\(a^5+b^5+c^5=1\)
a) Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)
\(=\left[\left(a+b\right)+c\right]^3-a^3-b^3-c^3\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3+3c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)-a^3-b^3-c^3\)
\(=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^3+3c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)-a^3-b^3-c^3\)
\(=3\left(a+b\right)\left(ab+ac+bc+c^2\right)\)
\(=3\left(a+b\right)\left[a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\right]\)
\(=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
b) Đặt a + b - c = x
b + c - a = y
c + a - b = z
=> x + y + z = a + b - c + b + c - a + c + a - b = a + b + c
Áp dụng hằng đẳng thức \(\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\) ( Câu a )
Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^3-\left(a+b-c\right)^3-\left(b+c-a\right)^3+\left(c+a-b\right)^3\)
\(=3\left(a+b-c+b+c-a\right)\left(b+c-a+c+a-b\right)\left(c+a-b+a+b-c\right)\)
\(=3.2b.2c.2a=24abc\)
cảm mơm nha