Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2 xét x=0 => A =0
xét x>0 thì \(A=\frac{1}{x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}}\)
để A nguyên thì \(x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\inƯ\left(1\right)\)
=>cho \(x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\)bằng 1 và -1 rồi giải ra =>x=?
1,Ta có \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}\)
=> \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=2\)
\(a+2=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
\(b+2=\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)\)
\(c+2=\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\)
=> \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}+\frac{\sqrt{b}}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}+...\)
=> \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+...=\frac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
=> M=0
Vậy M=0
B1 :
Áp dụng bđt cosi ta có : a^2/b+c + b+c/4 >= \(2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}\) = 2. a/2 = a
Tương tự b^2/c+a + c+a/4 >= b
c^2/a+b + a+b/4 >= c
=> VT + a+b+c/2 >= a+b+c
=> VT >= a+b+c/2 = VP
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0
k mk nha
\(xy+yz+xz\ge x+y+z\)
\(min=1\); \(x=1,y=1,z=1\); \(x=2,y=2,z=2\)thỏa mãn đk: \(xy+yz+xz\ge x+y+z\)
\(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\ge1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{\sqrt{1^3+8}}+\frac{1}{\sqrt{1^3+8}}+\frac{1}{\sqrt{1^3+8}}\ge1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{\sqrt{1^3+8}}3\ge1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{\sqrt{1+8}}3\ge1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{\sqrt{9}}3\ge1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{3}3\ge1\)(đk :\(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^3}{\sqrt{z^3+8}}\ge1\))
Ta có đánh giá quen thuộc sau: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)kết hợp giả thiết \(xy+yz+zx\ge x+y+z\)suy ra \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x+y+z\right)\Rightarrow xy+yz+zx\ge x+y+z\ge3\)
Dùng bất đẳng thức Bunyakosky dạng phân thức xét vế trái của bất đẳng thức:
\(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}=\frac{x^2}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}}+\frac{y^2}{\sqrt{\left(y+2\right)\left(y^2-2y+4\right)}}+\frac{z^2}{\sqrt{\left(z+2\right)\left(z^2-2z+4\right)}}\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}+\frac{2y^2}{y^2-y+6}+\frac{2z^2}{z^2-z+6}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+6-\left(x+y+z\right)+12}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)-\left(x+y+z\right)+12}=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-\left(x+y+z\right)+12}\)Đặt x + y + z = t ≥ 3 xét\(\frac{2t^2}{t^2-t+12}-1=\frac{t^2+t-12}{t^2-t+12}=\frac{\left(t+4\right)\left(t-3\right)}{t^2-t+12}\ge0\)(đúng với mọi t ≥ 3)
Như vậy, \(\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-\left(x+y+z\right)+12}\ge1\)hay \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\ge1\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
Bài 1. Áp dụng BĐT : ( x - y)2 ≥ 0 ∀xy
⇒ x2 + y2 ≥ 2xy
⇔ \(\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}\) ≥ 2
⇔ \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\) ≥ 2
⇒ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)) ≥ 6 ( 1)
CMTT : \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\) ≥ 2
⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ \(6\) ( 2)
Từ ( 1 ; 2) ⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\))
Đẳng thức xảy ra khi : x = y
Bài 4. Do : a ≥ 4 ; b ≥ 4 ⇒ ab ≥ 16 ( * ) ; a + b ≥ 8 ( ** )
Áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a2 + b2 ≥ 2ab = 2.16 = 32 ( *** )
Từ ( * ; *** ) ⇒ a2 + b2 + ab ≥ 16 + 32 = 48 ( 1 )
Từ ( ** ) ⇒ 6( a + b) ≥ 48 ( 2)
Từ ( 1 ; 2 ) ⇒a2 + b2 + ab ≥ 6( a + b)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 4
\(x+y=3\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x}{y}+1=3\sqrt{\frac{x}{y}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x}{y}-3\sqrt{\frac{x}{y}}+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\sqrt{\frac{x}{y}}-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x}{y}=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\)