Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
\(2=x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\le1\)
\(\Leftrightarrow xy\le1\)
Do \(x,y>0\Rightarrow xy>0\)
\(\Rightarrow0< xy\le1\)( đpcm )
b) Đề thiếu, cần thêm \(x+y=2\)và \(x,y>0\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si :
\(x^2y^2\left(x^2+y^2\right)\)
\(=\frac{1}{2}\cdot xy\cdot2xy\cdot\left(x^2+y^2\right)\le\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\cdot\frac{\left(x^2+2xy+y^2\right)^2}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2^2}{4}\cdot\frac{2^4}{4}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
a, ĐKXĐ: \(-1\le x;y\le1\)
Từ giả thiết ta có:
\(2-2x\sqrt{1-y^2}-2y\sqrt{1-x^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-y^2-2x\sqrt{1-y^2}+x^2\right)+\left(1-x^2-2y\sqrt{1-x^2}+y^2\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{1-y^2}-x\right)^2+\left(\sqrt{1-x^2}-y\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{1-y^2}-x=0\\\sqrt{1-x^2}-y=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{1-y^2}=x\\\sqrt{1-x^2}=y\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}0\le x;y\le1\\1-y^2=x^2\\1-x^2=y^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}0\le x;y\le1\\x^2+y^2=1\end{matrix}\right.\)
Vậy với x,y thỏa mãn hệ thức ở đề bài và \(0\le x;y\le1\) thì \(x^2+y^2=1\) (đpcm)
Câu c)
\((x+y)^3=(10x+y)^2\Leftrightarrow x+y=\left(\frac{10x+y}{x+y}\right)^2=\left(\frac{9x}{x+y}+1\right)^2\)
Vì \(x,y\in\mathbb{Z}^+\Rightarrow \frac{9x}{x+y}\in\mathbb{Z}\). Đặt \(9x=k(x+y)\)
Vì \(x,y>0\Rightarrow 0< k<9\)
Khi đó thay vào phương trình ta có
\(\left\{\begin{matrix} x+y=(k+1)^2\\ 9x=k(x+y)\end{matrix}\right.\Rightarrow 9x=k(k+1)^2\Rightarrow x=\frac{k(k+1)^2}{9}\)
Ta đi tìm \(k\) sao cho \(k(k+1)^2\vdots 9\). Do \(0< k<9\Rightarrow k=2,5,8\)
Thay vào, ta thu được bộ \((x,y)=(2,7),(20,16),(72,9)\)
a.
\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{2^2}{4}=1\)
Vì x,y>0 nên \(xy>0\)
Vậy \(0< xy\le1\)
b.
\(A=x^2y^2\left(x^2+y^2\right)=\frac{xy}{2}\cdot2xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{\left(x+y\right)^2}{8}\cdot\frac{\left(x+y\right)^4}{4}=\frac{2^6}{8\cdot4}=2\)
Vậy \(A_{max}=2\Leftrightarrow x=y=1\)
áp dụng bđt gì vậy bạn?