Câu hỏi của amy hayTV

Question

a) Cho a,b là hai số nguyên tố cùng nhau.Chứng minh rằng :
A=8a+3b và B= 5a+2b là hai số nguyên tố cùng nhau

Yen Nhi · Accepted Answer

Gọi x là $ƯC\left(8a+3b,5a+2b\right)$

Ta có : $8a+3b⋮x,5a+2b⋮x$

$\Rightarrow8a+3b-5a+2b⋮x$

$\Rightarrow2\left(8a+3b\right)-3\left(5a+2b\right)⋮x$

$\Rightarrow16a+16b-15a+6b⋮x$

$\Rightarrow1a⋮x$

Vậy $d=1$nên $8a+3b$và $5a+2b$cũng là hai số nguyên tố cùng nhau

Câu trả lời:

Gọi x là $ƯC\left(8a+3b,5a+2b\right)$

Ta có : $8a+3b⋮x,5a+2b⋮x$

$\Rightarrow8a+3b-5a+2b⋮x$

$\Rightarrow2\left(8a+3b\right)-3\left(5a+2b\right)⋮x$

$\Rightarrow16a+16b-15a+6b⋮x$

$\Rightarrow1a⋮x$

Vậy $d=1$nên $8a+3b$và $5a+2b$cũng là hai số nguyên tố cùng nhau

Yuri Sweet[𝕿𝖊𝖆𝖒 𝕹𝖊𝖕𝖆𝖑] · Answer

Gọi $d=ƯCLN$$\left(8a+3b;5a+2b\right)$$\left(d>0\right)$

$\Rightarrow\hept{\begin{cases}8a+3b⋮d\5a+2b⋮d\end{cases}\left(1\right)}$

$\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(8a+3b\right)⋮d\8\left(5a+2b\right)⋮d\end{cases}}$

$\Rightarrow\hept{\begin{cases}40a+15b⋮d\40a+16b⋮d\end{cases}}$

$\Rightarrow\left(40a+16b\right)-\left(40a+15b\right)⋮d$

$\Rightarrow b⋮d\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(8a+3b\right)⋮d\3\left(5a+2b\right)⋮d\end{cases}}$

$\Rightarrow\hept{\begin{cases}16a+6b⋮d\15a+6b⋮d\end{cases}}$

$\Rightarrow\left(16a+6b\right)-\left(15a+6b\right)⋮d$

$\Rightarrow a⋮d\left(3\right)$

Từ $\left(2\right)$và $\left(3\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}a⋮d\b⋮d\end{cases}}$

Mà $\left(a;b\right)=1$

$\Rightarrow d=1$

$\Rightarrow\left(8a+3b;5a+2b\right)=1$

$\Rightarrowđpcm$