Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(A=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{99\cdot100}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}-\frac{1}{100}< \frac{1}{2}\)
b) b = a - c => b + c = a
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{c}=\frac{a^2}{bc}\\\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=\frac{ac+ab}{bc}=\frac{a\left(b+c\right)}{bc}=\frac{a^2}{bc}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{c}=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\)
Bước 2 bạn sai rồi. Vd: \(\frac{1}{3x3}\) đâu bằng hay nhỏ hơn \(\frac{1}{2x3}\)
Cho a, b\(\in\)\(ℤ\). Chứng minh rằng : (\(a^2\)- \(b^2\)) . (\(a^2\)- 64 ) . (\(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12
O x A B C
a) Do A nằm giữa O và B (OA < OB: 3cm < 6cm) => OA + AB = OB
=> AB = OB - OA = 6 - 3 = 3 cm
Do B nằm giữa O và C (OB < OC : 6cm < 9cm) => OB + BC = OC
=> BC = OC - OB = 9 - 6 = 3 cm
=> AB = BC = 3cm
b) Do A nằm giữa O và C (OA < OC) => OA + AC = OC
=> AC = OC - OA = 9 - 3 = 6 (cm)
Ta có: AB = BC (gt) và B nằm giữa A và C (vì AB < AC: 3cm < 6cm)
=> B là trung điểm của đoạn thẳng AC
a)=>A=\(1+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}\right)\)
Đặt tổng trong ngoặc là M
=>M=\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.50}\)\(=1-\frac{1}{50}< 1\)
Khi đó A=1+M (M<1)
Ta có công thức :1+x<2 nếu x<1
=>A<1
Một số chính phương chia 12 chỉ có thể dư 0; 1; 4; 9
+) Nếu \(a^2;b^2\) có cùng số dư khi chia cho 12
=> \(a^2-b^2⋮12\)
=> ( \(a^2\)- \(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12
+) Nếu \(a^2\)hoặc \(b^2\) chia 12 dư 4
mà 64 chia 12 dư 4
khi đó: \(a^2-64\) chia hết cho 12 hoặc \(b^2-64\) chia hết cho 12
=> ( \(a^2\)- \(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12
+) Xét các trường hợp còn lại:
Vì vai trò a; b như nhau đối với tính chia hết
=> G/s số dư của \(a^2\) lớn hơn số dư của \(b^2\) khi chia cho 12
TH1: \(a^2\) chia 12 dư 1 và \(b^2\)chia 12 dư 0
=> \(a^2-64\)chia 12 dư -3
\(b^2-64\)chia 12 dư -4
mà -3 . (-4) = 12
=> ( \(a^2\)- \(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12
TH2: \(a^2\) chia 12 dư 9 và \(b^2\)chia 12 dư 0
=> \(a^2-64\) chia 12 dư 5
\(b^2-64\) chia 12 dư -4
\(a^2-b^2\)chia 12 dư 9
mà 5. (-4).9 \(⋮12\)
=> ( \(a^2\)- \(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12
TH3: \(a^2\) chia 12 dư 9 và \(b^2\)chia 12 dư 1
=> \(a^2-64\) chia 12 dư 5
\(b^2-64\) chia 12 dư -3
\(a^2-b^2\)chia 12 dư 8
mà 5. (-3).8 \(⋮12\)
=> ( \(a^2\)- \(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12
Vậy ( \(a^2\)- \(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12 với mọi số nguyên a; b.
Một số chính phương chia cho 3 ( hoặc 4 ) chỉ có số dư là 0 hay 1.
Có 3 số chính phương \(a^2\),\(b^2\), 64 = \(8^2\)mà có 2 loại số dư là 0 hoặc 1.
=> Có ít nhất 2 số trong 3 số \(a^2\),\(b^2\),\(8^2\)cùng số dư trong phép chia cho 3 ( không mất tính tổng quát giả sử )
2 số đó là \(a^2\)và\(b^2\)=> \(a^2\)-\(b^2\)\(⋮\)3
=> ( \(a^2\)-\(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 )\(⋮\)3, 4 ( điều phải chứng minh )
( DÙNG NGUYÊN LÍ DICHLE )
a)Ta có: \(\frac{3}{1.4}=\frac{4-1}{1.4}=1-\frac{1}{4}\)
\(\frac{3}{4.7}=\frac{7-4}{4.7}=\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\)
... . . . .
\(\frac{3}{n\left(n+3\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\)
\(\Leftrightarrow S=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}< 1^{\left(đpcm\right)}\)
b) Ta có: \(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}>\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{9.10}\)
\(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{9.10}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}\)
Suy ra \(\frac{2}{5}< S\) (1)
Ta lại có: \(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{8.9}\)
Mà \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{8.9}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\)
Từ đó suy ra S < 8/9
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
a) Ta có \(\hept{\begin{cases}a⋮m\\b⋮m\end{cases}}\Rightarrow a+b⋮m\)
Lại có \(\hept{\begin{cases}a+b+c⋮m\\a+b⋮m\end{cases}}\Rightarrow\left(a+b+c\right)-\left(a+b\right)⋮m\Rightarrow c⋮m\left(\text{đpcm}\right)\)