Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta sẽ lần lượt chứng minh:\(\frac{a}{b}\)<\(\frac{5a+2c}{5b+2d}\)và \(\frac{5a+2c}{5b+2d}\)<\(\frac{c}{d}\)
Ta có: \(\frac{a}{b}\)<\(\frac{5a+2c}{5b+2d}\)
\(\Leftrightarrow\)a(5b+2d)<b(5a+2c)
\(\Leftrightarrow\)5ab+2ad<5ab+2bc
\(\Leftrightarrow\)2ad<2bc\(\Leftrightarrow\)ad<bc\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{b}\)<\(\frac{c}{d}\)(đúng theo giả thiết)
Do vậy:\(\frac{a}{b}\)<\(\frac{5a+2c}{5b+2d}\)
Với lập luận tương tự ta cũng chứng minh được \(\frac{5a+2c}{5b+2d}\)<\(\frac{c}{d}\)
Vậy \(\frac{a}{b}\)<\(\frac{5a+2c}{5b+2d}\)<\(\frac{c}{d}\)
Cho điều kiện:
\(2 \left(\right. 3 a - 2 b + c \left.\right) = a - 5 b\)
Ta cần chứng minh:
\(N \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot N \left(\right. 2 \left.\right) \leq 0\)
Bước 1: Tìm biểu thức của \(N \left(\right. x \left.\right)\)
Giả sử \(N \left(\right. x \left.\right)\) là một đa thức bậc 2 dạng:
\(N \left(\right. x \left.\right) = a x^{2} + b x + c\)
Bước 2: Viết lại điều kiện đã cho
Điều kiện:
\(2 \left(\right. 3 a - 2 b + c \left.\right) = a - 5 b\)
Mở ngoặc:
\(6 a - 4 b + 2 c = a - 5 b\)
Chuyển hết về một vế:
\(6 a - 4 b + 2 c - a + 5 b = 0\)\(5 a + b + 2 c = 0\)
Bước 3: Tính \(N \left(\right. - 1 \left.\right)\) và \(N \left(\right. 2 \left.\right)\)
\(N \left(\right. - 1 \left.\right) = a \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} + b \left(\right. - 1 \left.\right) + c = a - b + c\)\(N \left(\right. 2 \left.\right) = a \left(\right. 2 \left.\right)^{2} + b \left(\right. 2 \left.\right) + c = 4 a + 2 b + c\)
Bước 4: Tính tích \(N \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot N \left(\right. 2 \left.\right)\)
\(N \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot N \left(\right. 2 \left.\right) = \left(\right. a - b + c \left.\right) \left(\right. 4 a + 2 b + c \left.\right)\)
Mở rộng:
\(= a \left(\right. 4 a + 2 b + c \left.\right) - b \left(\right. 4 a + 2 b + c \left.\right) + c \left(\right. 4 a + 2 b + c \left.\right)\)\(= 4 a^{2} + 2 a b + a c - 4 a b - 2 b^{2} - b c + 4 a c + 2 b c + c^{2}\)\(= 4 a^{2} + \left(\right. 2 a b - 4 a b \left.\right) + a c + 4 a c + \left(\right. - b c + 2 b c \left.\right) - 2 b^{2} + c^{2}\)\(= 4 a^{2} - 2 a b + 5 a c + b c - 2 b^{2} + c^{2}\)
Bước 5: Sử dụng điều kiện \(5 a + b + 2 c = 0\)
Từ điều kiện, ta có thể biểu diễn \(b\) theo \(a\) và \(c\):
\(b = - 5 a - 2 c\)
Thay vào biểu thức tích:
\(N \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot N \left(\right. 2 \left.\right) = 4 a^{2} - 2 a \left(\right. - 5 a - 2 c \left.\right) + 5 a c + \left(\right. - 5 a - 2 c \left.\right) c - 2 \left(\right. - 5 a - 2 c \left.\right)^{2} + c^{2}\)
Tính từng phần:
- \(- 2 a b = - 2 a \left(\right. - 5 a - 2 c \left.\right) = 10 a^{2} + 4 a c\)
- \(b c = \left(\right. - 5 a - 2 c \left.\right) c = - 5 a c - 2 c^{2}\)
- \(- 2 b^{2} = - 2 \left(\right. - 5 a - 2 c \left.\right)^{2}\)
Trước tiên, tính \(\left(\right. - 5 a - 2 c \left.\right)^{2}\):
\(\left(\right. - 5 a - 2 c \left.\right)^{2} = 25 a^{2} + 20 a c + 4 c^{2}\)
Nên:
\(- 2 b^{2} = - 2 \left(\right. 25 a^{2} + 20 a c + 4 c^{2} \left.\right) = - 50 a^{2} - 40 a c - 8 c^{2}\)
Bước 6: Thay vào và rút gọn
\(N \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot N \left(\right. 2 \left.\right) = 4 a^{2} + 10 a^{2} + 4 a c + 5 a c - 5 a c - 2 c^{2} - 50 a^{2} - 40 a c - 8 c^{2} + c^{2}\)
Nhóm các hạng tử cùng loại:
- \(a^{2}\): \(4 + 10 - 50 = - 36 a^{2}\)
- \(a c\): \(4 + 5 - 5 - 40 = - 36 a c\)
- \(c^{2}\): \(- 2 - 8 + 1 = - 9 c^{2}\)
Vậy:
\(N \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot N \left(\right. 2 \left.\right) = - 36 a^{2} - 36 a c - 9 c^{2} = - 9 \left(\right. 4 a^{2} + 4 a c + c^{2} \left.\right)\)
Bước 7: Xét biểu thức \(4 a^{2} + 4 a c + c^{2}\)
\(4 a^{2} + 4 a c + c^{2} = \left(\right. 2 a + c \left.\right)^{2} \geq 0\)
Vậy:
\(N \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot N \left(\right. 2 \left.\right) = - 9 \left(\right. 2 a + c \left.\right)^{2} \leq 0\)
Kết luận:
\(\boxed{N \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot N \left(\right. 2 \left.\right) \leq 0}\)
với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(2 a + c = 0\).
Tham khảo
\(a,M=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\)
\(M< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(M< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)
\(M< 1-\dfrac{1}{n}< 1\)
\(\Rightarrow M< 1\left(đpcm\right)\)
\(b,N=\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{6^6}+\dfrac{1}{8^2}+...+\dfrac{1}{\left(2n\right)^2}\)
\(N< \dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{5.7}+\dfrac{1}{7.9}+...+\dfrac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\)
\(N< \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\)
\(N< \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2n+1}< \dfrac{1}{3}\)
\(c,\) Vì \(a< b\Rightarrow2a< a+b\)
\(c< d\Rightarrow2c< c+d\)
\(m< n\Rightarrow2m< m+n\)
\(\Rightarrow2a+2c+2m=2.\left(a+c+m\right)< a+b+c+d+m+n\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+c+m}{a+b+c+d+m}< \dfrac{1}{2}\)
a)\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}.bd< \frac{c}{d}.bd\Rightarrow ad< cb\)(đpcm)
b)Ta có:
- ad<cd
=>ab+ad<ab+cd
=>a(b+d)<b(b+d)
=>\(\frac{a\left(b+d\right)}{b\left(b+d\right)}< \frac{b\left(a+c\right)}{b\left(b+d\right)}\)
=>\(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)(1)
- ad<bc
=>ad+cd<bc+cd
=>d(a+c)<c(b+d)
=>\(\frac{d\left(a+c\right)}{d\left(b+d\right)}< \frac{c\left(b+d\right)}{d\left(b+d\right)}\)
=>\(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)(đpcm)