Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn tự tách hđt nhé! Gõ mỏi tay :v~
\(\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2+\left(x-y\right)^2=\left(y+z-2x\right)^2+\left(z+x-2y\right)^2+\left(y+z-2z\right)^2\)
⇔ \(y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2+x^2-2xy+y^2=\)\(6(z^2-yz-xz+y^2-xy+x^2)\)
⇔ \(2\left(x^2+y^2+z^2-yz-xz-xy\right)\)=\(6(z^2-yz-xz+y^2-xy+x^2)\)
⇔ \(x^2+y^2+z^2-yz-xz-xy\) = \(3(z^2-yz-xz+y^2-xy+x^2)\)
⇔ \(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz=0\)
⇔ \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2=0\)
Mà \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\forall x;y;z\)
Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}x=y\\y=z\\z=x\end{matrix}\right.\)
⇒ \(x=y=z\)
j lắm thế :)))
Bài 2 : ~ bài 1 ngán quá =)))
a, Có
\(5x^2+10y^2-6xy-4x-2y+3\)
\(=\left(x^2-6xy+9y^2\right)+\left(4x^2-4x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+1\)
\(=\left(x-3y\right)^2+\left(2x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+1>0\forall x;y\)
Do đó không tồn tại x , y tm \(5x^2+10y^2-6xy-4x-2y+3=0\)
b, \(x^2+4y^2+z^2-2x-6x+6y+15=0\)
Câu này đề sai :v bài ngta không cho 2 lần x vậy đâu bạn :)))
1. \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\)
2. \(\left(x-y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2-2xy-2yz+2xz\)
3. \(\left(x+y-z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy-2yz-2zx\)
4. \(\left(x-y-z\right)^2=x^2+y^2+z^2-2xy+2yz-2zx\)
5./6. Kết hợp từ trên
Mik ms làm lần đâu sai thì thôi nha :
Để P nhỏ nhất thì
\(y^2+z^2+z^2+x^2+y^2+x^2\)
\(=\left(y^2+x^2+z^2\right)+z^2+x^2+y^2\)
\(=1+x^2+y^2+z^2\ge1\)
1. Cho \(x , y , z \neq 0\) và \(\frac{\left(\right. a x + b y + c z \left.\right)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = a^{2} + b^{2} + c^{2}\).
Chứng minh rằng: \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}\)
Giải:
Gọi \(k = \frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} \Rightarrow a = k x , b = k y , c = k z\).
Thay vào biểu thức:
\(\left(\right. a x + b y + c z \left.\right)^{2} = \left(\right. k x \cdot x + k y \cdot y + k z \cdot z \left.\right)^{2} = \left(\right. k \left(\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} \left.\right) \left.\right)^{2} = k^{2} \left(\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} \left.\right)^{2}\)\(x^{2} + y^{2} + z^{2}\)\(a^{2} + b^{2} + c^{2} = \left(\right. k x \left.\right)^{2} + \left(\right. k y \left.\right)^{2} + \left(\right. k z \left.\right)^{2} = k^{2} \left(\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} \left.\right)\)
Thay vào đề bài:
\(\frac{\left(\right. a x + b y + c z \left.\right)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = a^{2} + b^{2} + c^{2}\)\(\Rightarrow \frac{k^{2} \left(\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} \left.\right)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = k^{2} \left(\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} \left.\right)\)\(\Rightarrow k^{2} \left(\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} \left.\right) = k^{2} \left(\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} \left.\right)\)
Luôn đúng khi \(a / x = b / y = c / z\).
2. Rút gọn: \(\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{\left(\right. y - z \left.\right)^{2} + \left(\right. z - x \left.\right)^{2} + \left(\right. x - y \left.\right)^{2}}\), biết \(x + y + z = 0\)
Giải:
Đặt \(x + y + z = 0 \Rightarrow z = - \left(\right. x + y \left.\right)\).
Tính tử:
\(x^{2} + y^{2} + z^{2} = x^{2} + y^{2} + \left(\right. - \left(\right. x + y \left.\right) \left.\right)^{2} = x^{2} + y^{2} + \left(\right. x + y \left.\right)^{2} = x^{2} + y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2} = 2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y\)
Tính mẫu:
\(\left(\right. y - z \left.\right)^{2} + \left(\right. z - x \left.\right)^{2} + \left(\right. x - y \left.\right)^{2}\)\(= \left(\right. y + x + y \left.\right)^{2} + \left(\right. - \left(\right. x + y \left.\right) - x \left.\right)^{2} + \left(\right. x - y \left.\right)^{2}\)\(= \left(\right. y + x + y \left.\right)^{2} = \left(\right. x + 2 y \left.\right)^{2}\)\(- \left(\right. x + y \left.\right) - x = - 2 x - y\)\(\left(\right. x - y \left.\right)^{2}\)
Vậy ta tính từng phần:
\(\left(\right. y - z \left.\right)^{2} = \left(\right. y - \left(\right. - x - y \left.\right) \left.\right)^{2} = \left(\right. y + x + y \left.\right)^{2} = \left(\right. x + 2 y \left.\right)^{2}\)\(\left(\right. z - x \left.\right)^{2} = \left(\right. \left(\right. - x - y \left.\right) - x \left.\right)^{2} = \left(\right. - 2 x - y \left.\right)^{2}\)\(\left(\right. x - y \left.\right)^{2} = \left(\right. x - y \left.\right)^{2}\)
Cộng lại:
\(\left(\right. x + 2 y \left.\right)^{2} + \left(\right. - 2 x - y \left.\right)^{2} + \left(\right. x - y \left.\right)^{2}\)\(= \left(\right. x^{2} + 4 y^{2} + 4 x y \left.\right) + \left(\right. 4 x^{2} + y^{2} + 4 x y \left.\right) + \left(\right. x^{2} + y^{2} - 2 x y \left.\right)\)\(= \left(\right. x^{2} + 4 y^{2} + 4 x y \left.\right) + \left(\right. 4 x^{2} + y^{2} + 4 x y \left.\right) + \left(\right. x^{2} + y^{2} - 2 x y \left.\right)\)\(= \left(\right. x^{2} + 4 x^{2} + x^{2} \left.\right) + \left(\right. 4 y^{2} + y^{2} + y^{2} \left.\right) + \left(\right. 4 x y + 4 x y - 2 x y \left.\right)\)\(= 6 x^{2} + 6 y^{2} + 6 x y = 6 \left(\right. x^{2} + y^{2} + x y \left.\right)\)
Nhưng ở tử: \(2 \left(\right. x^{2} + y^{2} + x y \left.\right)\)
Vậy:
\(\frac{2 \left(\right. x^{2} + y^{2} + x y \left.\right)}{6 \left(\right. x^{2} + y^{2} + x y \left.\right)} = \frac{1}{3}\)
Kết quả:
\(\boxed{\frac{1}{3}}\)
3. Cho \(3 x - y = 3 z\) và \(2 x + y = 7 z\). Tính giá trị \(M = \frac{x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}\) với \(x \neq 0 , y \neq 0\)
Giải:
Giải hệ:
\(3 x - y = 3 z 2 x + y = 7 z\)
Cộng hai phương trình:
\(\left(\right. 3 x - y \left.\right) + \left(\right. 2 x + y \left.\right) = 3 z + 7 z 5 x = 10 z \Rightarrow x = 2 z\)
Thay vào (1):
\(3 x - y = 3 z \Rightarrow 3 \cdot 2 z - y = 3 z \Rightarrow 6 z - y = 3 z \Rightarrow y = 3 z\)
Vậy \(x = 2 z , y = 3 z\)
Tính \(M\):
\(M = \frac{x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}} = \frac{\left(\right. 2 z \left.\right)^{2} - 2 \cdot 2 z \cdot 3 z}{\left(\right. 2 z \left.\right)^{2} + \left(\right. 3 z \left.\right)^{2}} = \frac{4 z^{2} - 12 z^{2}}{4 z^{2} + 9 z^{2}} = \frac{- 8 z^{2}}{13 z^{2}} = - \frac{8}{13}\)
Kết quả:
\(\boxed{- \frac{8}{13}}\)
Nếu bạn cần giải thích thêm bất kỳ ý nào hoặc muốn giải các bài khác trong danh sách, hãy hỏi tiếp nhé!