MA
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NH
0
ML
21 tháng 8 2016
\(\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}=2-2\left(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}\right)\le2-2.\frac{4}{x+2+y+2}=2-\frac{8}{4-z}\)
Cần CM: \(2-\frac{8}{4-z}+\frac{z}{z+8}\le\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{8\left(z-2\right)^2}{3\left(4-z\right)\left(z+8\right)}\ge0\)
bđt trên đúng do \(4-z=\left(x+2\right)+\left(y+2\right)>0\)
9 tháng 8 2017
2) Ta có:
\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\)
Áp dụng BĐT Schwarz:
\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
Mà x+y=1 nên suy ra:
\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge4\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\ge8\)
=>đpcm.
Dấu ''='' xảy ra khi x=y=1/2
T
9 tháng 6 2016
Đặt A=.....
Dễ dàng biến đổi \(A=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\)
Có :\(\frac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge4x\)và \(\frac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge4y\)
Khi đó :\(A\ge4x+4y-4\left(x-1\right)-4\left(y-1\right)=8\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=2\)
Phần dấu = tớ làm hơi tắt. bạn nên tb rõ nhé
9 tháng 6 2016
\(A=\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^3-x^2+y^3-y^2}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}.\)
Áp dụng BĐT Côsy Schwarz \(\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}\ge\frac{\left(a_1+a_2\right)^2}{b_1+b_2}\)(Bạn có thể chứng minh được theo Bunhiacopxki - hoặc xem về BĐT Côsy Schwarz trên mạng)
cho các số dương a1=x;a2=y;b2=x-1;b2=y-1. Ta có:
\(A=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}=\frac{\left(x+y\right)^2-4+4}{x+y-2}=x+y+2+\frac{4}{x+y-2}=\)
\(=4+\left\{\left(x+y-2\right)+\frac{4}{x+y-2}\right\}\)
Vì x+y-2 >0. Áp dụng BĐT Cô sy cho 2 số \(\left(x+y-2\right);\frac{4}{x+y-2}\)
\(A\ge4+\left\{\left(x+y-2\right)+\frac{4}{x+y-2}\right\}\ge4+2\sqrt{\left(x+y-2\right)\cdot\frac{4}{x+y-2}}=4+2\sqrt{4}=8\)
Vậy A>=8. Dấu bằng xảy ra khi x=y=2 (ĐPCM).