Question

[Hoàng Nam Dương]

2 mũ p + p mũ + p mũ 2 = số nguyên tố

Answer 1

[Hoàng Lê Phúc Nguyên]

Đặt \(2^{p} + p^{2} = q\) với q là số nguyên tố

- Với \(p = 2 \Rightarrow q = 8\) ko phải SNT (loại)

- Với \(p = 3 \Rightarrow q = 17\) là SNT (thỏa mãn)

- Với \(p > 3 \Rightarrow p\) là số nguyên lẻ không chia hết cho 3

\(\Rightarrow p^{2}\) luôn chia 3 dư 1

Đồng thời do \(p\) lẻ \(\Rightarrow p = 2 k + 1 \Rightarrow 2^{k} = 2^{2 k + 1} = 2. 4^{k}\) 

Do \(4 \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right) \Rightarrow 4^{k} \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right) \Rightarrow 2. 4^{k} \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)

Hay  \(2^{p}\) luôn chia 3 dư 2

\(\Rightarrow 2^{p} + p^{2}\) luôn chia hết cho 3 \(\Rightarrow\) là hợp số (loại)

Vậy \(p = 3\) là SNT duy nhất thỏa mãn