Question

[Nguyễn Trần Duy Thiệu]

1.Cho p là số nguyên tố và 8p-1 là số nguyên tố.Hỏi 8p+1 là số nguyên tố hay hợp số?

2.Cmr nếu p là một số nguyên tố lớn hơn 3 thì \(p^2-1⋮24\)

Answer 1

[Mặc Chinh Vũ]

1. Có: \(8p-1;8p;8p+1\) là ba số nguyên liên tiếp.

Suy ra: Phải có một số chia hết cho 3.

Mà: \(8p-1\) là số nguyên tố (bài cho)

\(\Rightarrow8p-1⋮̸3\)

Có: p là số nguyên tố. \(\left(8;3\right)=1\)

\(\Rightarrow8p⋮̸3\)

Suy ra: \(8p+1⋮3\)

\(\Rightarrow8p+1\) là hợp số (ĐPCM)

Answer 2

[Mặc Chinh Vũ]

2. Có: \(p^2-1=p^2+p-p-1=\left(p^2+p\right)-\left(p+1\right)=p\left(p+1\right)-\left(p+1\right)=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)

+) p là số nguyên tố lớn hơn 3 ⇒ p là số lẻ. (1)

\(\Leftrightarrow p-1\) và \(p+1\) là hai số chẵn liên tiếp.

\(\Leftrightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮8\) (*)

Từ (1) suy ra p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k ∈ N^*)

\(+)p=3k+1\Leftrightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)=\left(3k+2\right)3k⋮3\)

\(+)p=3k+2\Leftrightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)=\left(3k+1\right)\left(3k+3\right)⋮3\)

\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮3\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮\left(3;8\right)\Leftrightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮24\)

Vậy \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮24\) (ĐPCM)