Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
c) Có \(P=\frac{ax+b}{x^2+1}=-1+\frac{x^2+ax+b+1}{x^2+1}\);
\(P=\frac{ax+b}{x^2+1}=4-\frac{4x^2-ax-b+4}{x^2+1}\)
Để Min P = 1 và Max P = 4 thì
\(\hept{\begin{cases}x^2+ax+b+1=\left(x+c\right)^2\\4x^2-ax-b+4=\left(2x+d\right)^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\left(a-2c\right)+\left(b+1-c^2\right)=0\left(1\right)\\x\left(-a-4d\right)+\left(-b+4-d^2\right)=0\left(2\right)\end{cases}}\)
(1) = 0 khi \(\hept{\begin{cases}a=2c\\b=c^2-1\end{cases}}\)(3)
(2) = 0 khi \(\hept{\begin{cases}a=-4d\\b=4-d^2\end{cases}}\)(4)
Từ (3) (4) => d = 1 ; c = -2 ; b = 3 ; a = -4
Vậy \(P=\frac{-4x+3}{x^2+1}\)
ĐK \(x\ge y\)
Đặt \(\sqrt{x+y}=a;\sqrt{x-y}=b\left(a;b\ge0\right)\)
HPT <=> \(\hept{\begin{cases}a^4+b^4=82\\a-2b=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2b+1\right)^4+b^4=82\\a=2b+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}17b^4+32b^3+24b^2+8b-81=0\\a=2b+1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}17b^4-17b^3+49^3-49b^2+73b^2-73b+81b-81=0\\a=2b+1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(b-1\right)\left(17b^3+49b^2+73b+81\right)=0\left(1\right)\\a=2b+1\end{cases}}\)
Giải (1) ; kết hợp điều kiện => b = 1
=> Hệ lúc đó trở thành \(\hept{\begin{cases}b=1\\a=2b+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\a=3\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+y}=3\\\sqrt{x-y}=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=9\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=10\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}}\)
Vậy hệ có 1 nghiệm duy nhất (x;y) = (5;4)
\(\Leftrightarrow2x\sqrt{1-x^2}+2x^2+\sqrt{1-x}=1\)
\(\Leftrightarrow2x\sqrt{1-x^2}+2x^2+\sqrt{1-x}-1=0\)
\(\Leftrightarrow x=0\)
1.
\(\left(ad-bc\right)^2+\left(ac+bd\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
Thay ad-bc=1 \(\Rightarrow1+\left(ac+bd\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
Áp dụng bđt Cosi :
\(\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+d^2\right)\ge2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\ge2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}+ac+bd\)
Do đó chỉ cần chứng minh \(2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}+ac+bd\ge\sqrt{3}\) hay \(2\sqrt{1+\left(ac+bd\right)^2}+ac+bd\ge\sqrt{3}\)
Đặt \(ac+bd=x\) và \(y=2\sqrt{1+x^2}+x\)
Ta có ; \(\left|x\right|=\sqrt{x^2}< 2\sqrt{1+x^2}\) mà \(\left|x\right|\ge-x\Rightarrow y>0\)
Xét : \(y^2=4\left(1+x\right)^2+4x\sqrt{1+x^2}+x^2=\left(1+x\right)^2+4x\sqrt{1+x^2}+4x^2+3\)
\(=\left(\sqrt{1+x^2}+2x\right)^2+3\ge3\)\(\Rightarrow y^2\ge3\Rightarrow y\ge\sqrt{3}\)
Suy ra \(M\ge\sqrt{3}\)(đpcm)