KP
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
VT
16 tháng 5 2017
không mất tính tổng quát giả sử x \(\le\)y
BĐT tương đương \(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\ge\frac{1}{1+xy}-\frac{1}{1+y^2}\)
quy đồng và rút gọn ta được \(\frac{x}{\left(1+x^2\right)}\ge\frac{y}{1+y^2}\)
suy ra \(x\left(1+y^2\right)\ge y\left(1+x^2\right)\)
Phá ngoặc, chuyển vế, phân tích nhân tử ta được (y - x)(xy - 1) \(\ge\)0 (1)
vì x, y\(\ge\)1 và y \(\ge\)x nên (1) luôn đúng. (đpcm)
TP
2
TN
29 tháng 5 2016
Cách 1:Ta có: \(2\left(1+a^2\right)\ge\left(1+a\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)^2}\ge\frac{1}{\left[2\left(1+a^2\right)\right]}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{1}{\left[2\left(1+x^2\right)\right]}+\frac{1}{\left[2\left(1+y^2\right)\right]}\)
mà: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{2+x^2+y^2}{1+x^2y^2+x^2+y^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{\left[2.\left(1+xy\right)+\left(x-y\right)^2\right]}{\left(1+xy\right)^2+\left(x-y\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge2.\frac{1+xy}{\left(1+xy\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left[2\left(1+x^2\right)\right]}+\frac{1}{\left[2\left(1+y^2\right)\right]}\ge\frac{1}{1+xy}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{1}{1+xy}\)
T
24 tháng 11 2019
1) Biến đồi tương đương:
\(\left(x^2+y^2\right)^2\ge8\left(x-y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\ge8xy\left(x-y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+y^2\right)^2\ge0\)(đúng)
2) Sửa đề: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\left(\text{với }xy\ge1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(xy+1\right)}\ge0\) (đúng)
NL
2
14 tháng 6 2017
Ta có: \(VT=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-x^3+y=x^3-y^3-x^3+y\)
\(=-y^3+y=y-y^3=y\left(1-y^2\right)=VP\)
\(\Rightarrowđpcm\)
DT
0