Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đường tròn tâm \(I\left(1;-3\right)\) bán kính \(R=5\)
Do tiếp tuyến d vuông góc với d1 nên phương trình d có dạng:
\(4x+3y+c=0\)
d tiếp xúc (C) \(\Leftrightarrow d\left(I;d\right)=R\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|4.1-3.3+c\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=5\Leftrightarrow\left|c-5\right|=25\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=30\\c=-20\end{matrix}\right.\) có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}4x+3y+30=0\\4x+3y-20=0\end{matrix}\right.\)
\(d_1\) nhận \(\left(3;4\right)\) là 1 vtpt
\(d_2\) nhận \(\left(a;-2\right)\) là 1 vtcp \(\Rightarrow\) nhận \(\left(2;a\right)\) là 1 vtpt
Do đó ta có:
\(\frac{\left|3.2+4.a\right|}{\sqrt{3^2+4^2}.\sqrt{4+a^2}}=cos45^0=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|4a+6\right|}{5\sqrt{a^2+4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(4a+6\right)=5\sqrt{a^2+4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(4a+6\right)^2=25\left(a^2+4\right)\)
\(\Leftrightarrow7a^2+96a-28=0\)
\(\Rightarrow a_1+a_2=-\frac{96}{7}\) (theo Viet)
Gọi \(A\left(a;1-a\right)\) ; \(B\left(b;2b-1\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(a-1;2-a\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(b-1;2b\right)\end{matrix}\right.\)
\(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=0\Leftrightarrow\left(2a-2;4-2a\right)+\left(b-1;2b\right)=\left(0;0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a-2+b-1=0\\4-2a+2b=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a+b=3\\-2a+2b=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{5}{3}\\b=-\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A\left(\frac{5}{3};-\frac{2}{3}\right);B\left(-\frac{1}{3};-\frac{5}{3}\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(2;1\right)\)
Phương trình AB:
\(1\left(x-\frac{5}{3}\right)-2\left(y+\frac{2}{3}\right)=0\Leftrightarrow x-2y-3=0\)
\(d_1\) nhận \(\left(2;-m\right)\) là 1 vtpt
\(d_2\) nhận \(\left(-1;3\right)\) là 1 vtcp nên nhận \(\left(3;1\right)\) là 1 vtpt
Để 2 đường thẳng vuông góc
\(\Leftrightarrow2.\left(-1\right)+\left(-m\right).3=0\Rightarrow m=-\frac{2}{3}\)
Đường tròn (C1) có tâm I(1;-2) bán kính \(R=\sqrt{5}\)
Đường tròn (C2) có tâm \(J\left(-1;-3\right)\) bán kính \(R=3\)
Áp dụng Pitago: \(d\left(J;d\right)=\sqrt{R^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow d\left(I;d\right)=d\left(J;d\right)\Rightarrow d//IJ\) (dễ dàng loại trường hợp d đi qua trung điểm của IJ, vì trung điểm của IJ nằm trong (C1))
\(\overrightarrow{JI}=\left(2;1\right)\Rightarrow\) d nhận \(\left(1;-2\right)\) là 1 vtpt
Phương trình d có dạng: \(x-2y+c=0\)
\(d\left(I;d\right)=\sqrt{5}\Rightarrow\frac{\left|1.1-\left(-2\right).2+c\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow\left|c+5\right|=5\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=0\\c=-10\end{matrix}\right.\)
Có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}x-2y=0\\x-2y-10=0\end{matrix}\right.\)
d1 song song d2 khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\frac{1}{m}=\frac{2m-1}{6}\ne\frac{m}{-3}\end{matrix}\right.\)
\(\frac{1}{m}=\frac{2m-1}{6}\Rightarrow2m^2-m-6=0\)
\(\Rightarrow\) Theo Viet \(m_1m_2=\frac{-6}{2}=-3\)
Dễ dàng nhận thấy AC là đường kính của đường tròn và AC vuông góc d1; AB vuông góc d2
Gọi tọa độ A có dạng \(A\left(a;-a\sqrt{3}\right)\) với \(a>0\)
Gọi d là đường thẳng qua A vuông góc d2 \(\Rightarrow\) d nhận \(\left(1;\sqrt{3}\right)\) là 1 vtpt
Phương trình d:
\(1\left(x-a\right)+\sqrt{3}\left(y+a\sqrt{3}\right)=0\Leftrightarrow x+\sqrt{3}y+2a=0\)
Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{3}y+2a=0\\\sqrt{3}x-y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{BA}=\left(\frac{3a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\Rightarrow AB=a\sqrt{3}\)
Gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc d1 \(\Rightarrow\) d' nhận \(\left(1;-\sqrt{3}\right)\) là 1 vtpt
Phương trình d':
\(1\left(x-a\right)-\sqrt{3}\left(y+a\sqrt{3}\right)=0\Leftrightarrow x-\sqrt{3}y-4a=0\)
Tọa độ C là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-\sqrt{3}y-4a=0\\\sqrt{3}x-y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(-2a;-2a\sqrt{3}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CB}=\left(\frac{3a}{2};\frac{3a\sqrt{3}}{2}\right)\) \(\Rightarrow BC=3a\)
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{2}.a\sqrt{3}.3a=\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\Rightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(\frac{\sqrt{3}}{3};-1\right)\\C\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3};-2\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}I\left(-\frac{\sqrt{3}}{6};-\frac{3}{2}\right)\\R=\frac{AC}{2}=1\end{matrix}\right.\)
Phương trình đường tròn: \(\left(x+\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=1\)
1. Gọi \(M\left(x;y\right)\) là điểm bất kì nằm trên phân giác
\(\Rightarrow d\left(M;d_1\right)=d\left(M;d_2\right)\Leftrightarrow\dfrac{\left|3x-4y-3\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=\dfrac{\left|12x+5y-12\right|}{\sqrt{12^2+5^2}}\)
\(\Leftrightarrow\left|39x-52y-39\right|=\left|60x+25y-60\right|\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}60x+25y-60=39x-52y-39\\60x+25y-60=-39x+52y+39\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x+11y-3=0\\11x-3y-11=0\end{matrix}\right.\)
Xét \(3x+11y-3=0\) có vtpt \(\left(3;11\right)\)
Ta có: \(cos^{-1}\dfrac{\left|3.3-11.4\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}.\sqrt{3^2+11^2}}=52^0>45^0\) (ktm)
\(\Rightarrow11x-3y-11=0\) là pt đường phân giác góc nhọn tạo bởi d1 và d2
2.
Phương trình d1: \(\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+2m=0\)
Đường tròn (C) có tâm \(O\left(0;0\right)\) bán kính \(R=1\)
Đường thẳng d1 tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi:
\(d\left(O;d_1\right)=R\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|2m\right|}{\sqrt{2+2}}=1\Leftrightarrow\left|2m\right|=2\)
\(\Rightarrow m=\pm1\)