Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta biểu thị 2 số hạng liên tiếp của dãy có dạng:\(\frac{\left(n-1\right)n}{2};\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(\frac{\left(n-1\right)n}{2}+\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(=\frac{\left(n-1\right)n+n\left(n+1\right)}{2}\)
\(=\frac{n\left(n-1+n+1\right)}{2}\)
\(=\frac{n\times2n}{2}\)
\(=n^2\)
\(\Rightarrow\)Tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là số chính phương
Bài 3 :
Gọi 4 số tự nhiên đó lần lượt là a; a + 1; a + 2; a + 3
Ta có biểu thức :
\(A=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)+1\)
\(A=\left[a\left(a+3\right)\right]\left[\left(a+1\right)\left(a+2\right)\right]+1\)
\(A=\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)+1\)
Đặt \(x=a^2+3a+1\)ta có :
\(A=\left(x-1\right)\left(x+1\right)+1\)
\(A=x^2-1^2+1\)
\(A=x^2\left(đpcm\right)\)
3. \(1998=a_1+a_2+a_3\) với \(a,b,c\in N\)
Xét hiệu \(\left(a_1^3+a_2^3+a_3^3\right)-\left(a_1+a_2+a_3\right)\)
\(=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+\left(a_3^3-a_3\right)\)
\(=a_1\left(a_1^2-1\right)+a_2\left(a_2^2-1\right)+a_3\left(a_3^2-1\right)\)
\(=\left(a_1-1\right).a_1.\left(a_1+1\right)+\left(a_2-1\right).a_2.\left(a_2+1\right)+\left(a_3-1\right).a_3.\left(a_3+1\right)\)
Dễ thấy mỗi số hạng là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên ắt tồn tại 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3
=> Mỗi số hạng chia hết cho 6
=> Hiệu \(\left[\left(a_1^3+a_2^3+a_3^3\right)-\left(a_1+a_2+a_3\right)\right]⋮6\)
Hay \(\left(a_1^3+a_2^3+a_3^3\right)\) và \(\left(a_1+a_2+a_3\right)\) có cùng số dư khi chia cho 6
=> \(\left(a_1^3+a_2^3+a_3^3\right)\) và 1998 có cùng số dư khi chia cho 6
Nên \(\left(a_1^3+a_2^3+a_3^3\right)⋮6\)
Bài 1:
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó lần lượt là a,a+1,a+2,a+3\(\left(a;a+1;a+2;a+3\in N\right)\)
Theo bài ra ta có:
\(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)+1\)
\(=\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)+1\)
Đặt \(a^2+3a+1=t\) khi đó ta có:
\(\left(t-1\right)\left(t+1\right)+1=t^2-1+1=t^2\)
Vậy \(t^2\) là số chính phương suy ra \(\left(a^2+3a+1\right)^2\) là số chính phương ta có điều phải chứng minh
bài 2: ý tưởng là thay vào
bài 3: gọi UCLN(...)=d
Xét hiệu...
1) gọi 3 số đó là x;x+1;x+2 (x thuộc N)
nếu cộng 3 tích của 2 trong 3 số ấy được 242 nên ta có phương trình :
x.(x+1)+(x+1)(x+2)+x.(x+2)=242
<=>x2+x+x2+3x+2+x2+2x=242
<=>3x2+6x+2=242
<=>3x2+6x-240=0
<=>3x2-24x+30x-240=0
<=>3x.(x-8)+30.(x-8)=0
<=>(x-8)(3x+30)=0
<=>x-8=0 hoặc 3x+30=0
<=>x=8 hoặc x=-10 ( loại )
Vậy 3 số đó là : 8;9;10
2)
ta có :a+b+c=0 suy ra:
M=a.(a+b)(a+c)=(a2+ab)(a+c)=a3+a2c+a2b+abc
=a2.(a+b+c)+abc=a2.0+abc=abc
N=b(b+a)(b+c)=(b2+ab)(b+c)=b3+b2c+ab2+abc
=b2.(b+c+a)+abc=b2.0+abc=abc
P=c(c+a)(c+b)=(c2+ac)(c+b)=c3+c2b+ac2+abc
=c2.(a+b+c)+abc=c3.0+abc=abc
Vậy với a+b+c=0 thì :
M=N=P=abc