Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a+b\sqrt{3}+c\sqrt{5})^2\leq (a^2+b^2+c^2)(1+3+5)\)
\(\Leftrightarrow (a+b\sqrt{3}+c\sqrt{5})^2\leq 9\Rightarrow a+b\sqrt{3}+c\sqrt{5}\leq 3\)
(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{1}=\frac{b}{\sqrt{3}}=\frac{c}{\sqrt{5}}\) hay \(a=\frac{1}{3}; b=\sqrt{\frac{1}{3}}; c=\sqrt{\frac{5}{9}}\)
$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\((a^2+2c^2)(1+2)\geq (a+2c)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{a^2+2c^2}\geq \frac{a+2c}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\geq \frac{a+2c}{\sqrt{3}ac}=\frac{ab+2bc}{\sqrt{3}abc}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\left\{\begin{matrix} \frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\geq \frac{ac+2ab}{\sqrt{3}abc}\\ \frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\geq \frac{bc+2ac}{\sqrt{3}abc}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế các BĐT trên thu được:
\(\text{VT}\geq \frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{ab+2bc+ac+2ab+bc+2ac}{abc}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{3(ab+bc+ac)}{abc}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{3abc}{abc}=\sqrt{3}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=3$
Bài 2: Bài này sử dụng pp xác định điểm rơi thôi.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(24a^2+24.(\frac{31}{261})^2\geq 2\sqrt{24^2.(\frac{31}{261})^2a^2}=\frac{496}{87}a\)
\(b^2+(\frac{248}{87})^2\geq 2\sqrt{(\frac{248}{87})^2.b^2}=\frac{496}{87}b\)
\(93c^2+93.(\frac{8}{261})^2\geq 2\sqrt{93^2.(\frac{8}{261})^2c^2}=\frac{496}{87}c\)
Cộng theo vế:
\(B+\frac{248}{29}\geq \frac{496}{87}(a+b+c)=\frac{496}{87}.3=\frac{496}{29}\)
\(\Rightarrow B\geq \frac{496}{29}-\frac{248}{29}=\frac{248}{29}\)
Vậy \(B_{\min}=\frac{248}{29}\). Dấu bằng xảy ra khi: \((a,b,c)=(\frac{31}{261}; \frac{248}{87}; \frac{8}{261})\)
b: ĐKXĐ: x>=-1
\(\sqrt{x+1}=x+1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>=-1\\\left(x+1\right)^2=x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\cdot x=0\\x>=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in\left\{0;-1\right\}\)
c: \(\sqrt{x-1}=1-x\)
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1>=0\\1-x< =0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1\)
Do đó: x=1 là nghiệm của phương trình
d: \(2x+3+\dfrac{4}{x-1}=\dfrac{x^2+3}{x-1}\)(ĐKXĐ: x<>1)
\(\Leftrightarrow\left(2x+3\right)\left(x-1\right)+4=x^2+3\)
\(\Leftrightarrow2x^2-2x+3x-3+4-x^2-3=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\)
=>(x+2)(x-1)=0
=>x=-2(nhận) hoặc x=1(loại)
a, ĐKXĐ: \(x\ge3\)
\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x-3}\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-3}=0\\x-1=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(tm\right)\\x=1\left(l\right)\\x=2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=3\)
b, ĐKXĐ: \(x\ge-1\)
\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x+1}\left(x+1\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=0\\x+1=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\left(tm\right)\\x=2\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
c, ĐKXĐ: \(x>2\)
\(pt\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{x-2}}=\frac{3-x}{\sqrt{x-2}}\)
\(\Leftrightarrow x=3-x\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\left(l\right)\)
\(\Rightarrow\) Phương trình vô số nghiệm
d, ĐKXĐ: \(x>-1\)
\(pt\Leftrightarrow\frac{x^2-4}{\sqrt{x+1}}=\frac{x+3+x+1}{\sqrt{x+1}}\)
\(\Leftrightarrow x^2-4=2x+4\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-8=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\left(tm\right)\\x=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=4\)
Lời giải:Áp dụng định lý cos ta có:
\(\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}=\frac{-1}{2}\Rightarrow \widehat{A}=120^0\)
\(\cos B=\frac{BC^2+BA^2-AC^2}{2BC.BA}=\frac{-\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{B}=45^0\)
\(\widehat{C}=180^0-(\widehat{A}+\widehat{B})=180^0-(120^0+45^0)=15^0\)
\(\widehat{ADB}=180^0-(\frac{\widehat{A}}{2}+\widehat{B})=180^0-(\frac{120^0}{2}+45^0)=75^0\)