Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(A=ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ac\sqrt{ac}=1.\\ \)( cho đỡ phải đánh máy nhiều )
Ta có : \(\frac{a^6}{a^3+b^3}=a^3-\frac{a^3b^3}{a^3+b^3}\ge a^3-\frac{a^3b^3}{2\sqrt{a^3b^3}}=a^3-\frac{ab\sqrt{ab}}{2}\left(1\right).\)
( do a,b> 0 nên \(a^3+b^3\ge2\sqrt{a^3b^3}\Rightarrow\frac{a^3b^3}{a^3+b^3}\le\frac{a^3b^3}{2\sqrt{a^3b^3}}\))
chứng minh tương tự ta có :
\(\frac{b^6}{b^6+c^6}\ge b^3-\frac{bc\sqrt{bc}}{2}\left(2\right).\); \(\frac{c^6}{c^3+a^3}\ge c^3-\frac{ca\sqrt{ca}}{2}\left(3\right).\)
cộng vế với vế các bđt (1) (2), (3) ta được :
\(P\ge a^3+b^3+c^3-\frac{A}{2}\left(4\right).\)
Áp dụng BĐT Cô si ( AM - GM ) : \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\sqrt{a^3b^3}=ab\sqrt{ab}.\)( làm tương tự 2 lần nữa với a^3, b^3 , c^3 rồi cộng vế với vế ta được )
=> \(a^3+b^3+c^3\ge ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}=A\left(5\right).\)
Thay (5) vào (4) ta được :
\(P\ge A-\frac{A}{2}=\frac{A}{2}=\frac{1}{2}.\)
Vậy Pmin = 1/2 khi a = b = c = \(\frac{1}{\sqrt[3]{3}}.\)
\(\text{a)}x\sqrt{x}+\sqrt{x}-x-1\)
\(=\left(x\sqrt{x}+\sqrt{x}\right)-\left(x+1\right)\)
\(=\sqrt{x}\left(x+1\right)-\left(x+1\right)\)
\(=\left(x+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)\)
\(\text{b)}\sqrt{ab}+2\sqrt{a}+3\sqrt{b}+6\)
\(=\left(\sqrt{ab}+2\sqrt{a}\right)+\left(3\sqrt{b}+6\right)\)
\(=\sqrt{a}\left(\sqrt{b}+2\right)+3\left(\sqrt{b}+2\right)\)
\(=\left(\sqrt{b}+2\right)\left(\sqrt{a}+3\right)\)
\(\text{c)}\left(1+\sqrt{x}\right)^2-4\sqrt{x}\)
\(=\left(1+\sqrt{x}\right)^2-\left(2\sqrt{\sqrt{x}}\right)^2\)
\(=\left(1+\sqrt{x}+2\sqrt{\sqrt{x}}\right)\left(1+\sqrt{x}-2\sqrt{\sqrt{x}}\right)\)
\(\text{d)}\sqrt{ab}-\sqrt{a}-\sqrt{b}+1\)
\(=\left(\sqrt{ab}-\sqrt{a}\right)-\left(\sqrt{b}-1\right)\)
\(=\sqrt{a}\left(\sqrt{b}-1\right)-\left(\sqrt{b}-1\right)\)
\(=\left(\sqrt{b}-1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)\)
\(\text{e)}a+\sqrt{a}+2\sqrt{ab}+2\sqrt{b}\)
\(=\left(a+\sqrt{a}\right)+\left(2\sqrt{ab}+2\sqrt{b}\right)\)
\(=\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\sqrt{a}\right]+\left(2\sqrt{ab}+2\sqrt{b}\right)\)
\(=\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)+2\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+1\right)\)
\(=\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}+2\sqrt{b}\right)\)
\(\text{f)}x-2\sqrt{x-1}-a^2\)
\(=\left(\sqrt{x-2}\right)^2\left(\sqrt{\sqrt{x-1}}\right)^2-a^2\)
\(=\left(\sqrt{x-2}\sqrt{\sqrt{x-1}}\right)^2-a^2\)
\(=\left(\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}\right)^2-a^2\)
\(=\left(\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+a\right)\left(\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}-a\right)\)
Ta có : \(a\sqrt{32\left(b^2+c^2\right)}=2.2a\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}\le4a^2+2\left(b^2+c^2\right)\)
\(\left(b+c\right)^2\le2\left(b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow12\le4\left(a^2+b^2+c^2\right)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Ngoài ra \(a\sqrt{\left(16+16\right)\left(b^2+b^2\right)}\ge a\left(4a+4b\right)\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\le3\)
\(VT=\frac{a^4}{ab+3a\sqrt{bc}}+\frac{b^4}{bc+3b\sqrt{ca}}+\frac{c^4}{ac+3c\sqrt{ba}}\)
\(\ge\frac{a^4}{ab+\frac{3}{2}\left(a^2+bc\right)}+\frac{b^4}{bc+\frac{3}{2}\left(b^2+ac\right)}+\frac{c^4}{ac+\frac{3}{2}\left(c^2+ab\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{5}{2}\left(ab+bc+ac\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{15}{2}}\)
Xét VT \(\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\frac{9}{8}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{45}{8}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2-3\right)+\left(a^2+b^2+c^2+\frac{15}{8}\right)\ge0\) ( luôn đúng với \(a^2+b^2+c^2\ge3\) )
\(\Rightarrowđpcm\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c = 1
1/a) ĐKXĐ:
\(\left\{{}\begin{matrix}4-x^2\ge0\\x^4-16\ge0\\4x+1\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-x^2\ge0\\\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)\ge0\\x\ge\dfrac{-1}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-4\le0\\x^2-4\ge0\\x\ge\dfrac{-1}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=2\)
Thế vào pt ta được:
\(3+\sqrt{y^2-2y+1}=5-y\Leftrightarrow\left|y-1\right|=2-y\Rightarrow y=\dfrac{3}{2}\)
Vậy pt có cặp nghiệm duy nhất \(x=2;y=\dfrac{3}{2}\)
2/ Muốn giải chi tiết thì buộc phải sử dụng kiến thức lớp 11 (các công thức lượng giác nhân đôi, nhân ba), còn lớp 9 thì chỉ có cách thừa nhận các giá trị lượng giác của góc 108 hoặc 54 độ là 1 số vô tỉ.
Gọi H là trung điểm BC \(\Rightarrow BH=\dfrac{BC}{2}\)
\(\widehat{CAH}=\dfrac{\widehat{A}}{2}=54^0\) (ABC cân tại A) \(\Rightarrow sin\widehat{CAH}=sin54^0=\dfrac{HC}{AC}=\dfrac{BC}{2AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BC}{AC}=2.sin54^0\)
Mà \(sin54^0\) là số vô tỉ \(\Rightarrow\dfrac{BC}{AC}\) là số vô tỉ
Câu 3: TXĐ: \(x\ge0\)
\(\left(\sqrt[3]{x^2+26}-3\right)+3\left(\sqrt{x}-1\right)+\left(\sqrt{x+3}-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-1}{\sqrt[3]{\left(x^2+26\right)^2}+3\sqrt[3]{x^2+26}+9}+3\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\dfrac{x+1}{\sqrt[3]{\left(x^2+26\right)^2}+3\sqrt[3]{x^2+26}+9}+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\)
Do \(\dfrac{x+1}{\sqrt[3]{\left(x^2+26\right)^2}+3\sqrt[3]{x^2+26}+9}+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}>0\) \(\forall x\ge0\)
Mới nghĩ ra 3 câu:
a/ \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^2\left(1+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(1+c\right)}}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab\left(1+c\right)}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\)
\(\sum\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\le\sqrt{2\sum\frac{ab}{1+c}}\)
\(\sum\frac{ab}{1+c}=\sum\frac{ab}{a+c+b+c}\le\frac{1}{4}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{4}\)
c/ \(ab+bc+ca=2abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\Rightarrow x+y+z=2\)
\(VT=\sum\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\)
Ta có đánh giá: \(\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\ge x-\frac{1}{2}\) \(\forall x\in\left(0;2\right)\)
\(\Leftrightarrow2x^3\ge\left(2x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)\)
\(\Leftrightarrow9x^2-12x+4\ge0\Leftrightarrow\left(3x-2\right)^2\ge0\)
d/ Ta có đánh giá: \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)
Akai Haruma, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Băng Băng 2k6, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm
Mn giúp e vs ạ! Thanks!
a) 2a−4b=2(a−2b)2a−4b=2(a−2b)
c) 2ax−2ay+2a=2a(x−y+1)2ax−2ay+2a=2a(x−y+1)
e) 3xy(x−4)−9x(4−x)=3x(x−4)(y+3)3xy(x−4)−9x(4−x)=3x(x−4)(y+3)
b,d xem lại đề
1/ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc
= a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + ca(c+a) + 2abc
= ab^2 + b^2c + a^2b + bc^2 + 2abc + ca(c+a)
=b^2(a+c) + b(a^2 + c^2 + 2ac) + ca(c+a)
=b^2(a+c) + b(a+c)^2 + ca(c+a)
=(c+a)[b^2 + b(a+c) + ca]
=(c+a)[b^2 + ab + bc + ca]
=(c+a)[b(b+a) + c(b+a)]
=(c+a)(b+c)(b+a)
2/VP=-(x-4)
pt trở thành \(\sqrt[3]{16-x^3}=-\left(x-4\right)\)
<=>x=2