Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (2) cộng (3) ta được
\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)
Lấy (1) - (4) ta được
\(2x\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)
Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z
1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)
Đến đây thì dễ rồi nhé
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=x^2-yz\\b=y^2-zx\\c=z^2-xy\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b+c=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\)
Mặt khác cũng từ trên ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}ax=x^3-xyz\\by=y^3-xyz\\cz=z^3-xyz\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow ax+by+cz=x^3+y^3+z^3-3xyz\)
Ta có đẳng thức quen thuộc:
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow ax+by+cz=\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\)
\(A=\frac{a}{ab+c\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{bc+a\left(a+b+c\right)}+\frac{c}{ca+b\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{a}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(A=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\ge27.\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8\left(a+b+c\right)^3}\)\(=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}{8}\)\(\ge\frac{9-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{8}=\frac{9-3}{8}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
a/ Một cách đơn giản hơn:
\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
\(P=\frac{x-\frac{1}{2}+y-\frac{1}{2}}{y^2}+\frac{y-\frac{1}{2}+z-\frac{1}{2}}{z^2}+\frac{z-\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2}}{x^2}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P\ge\frac{2}{xy}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{yz}\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{zx}\left(z-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1\)
\(P\ge\sqrt{3\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)}-1=\sqrt{3}-1\)
\(P_{min}=\sqrt{3}-1\) khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
a.
\(\frac{3x-36}{12}=\frac{5y-45}{15}=\frac{z-1}{1}=\frac{3x+5y-z-50}{26}=\frac{-48}{26}\)
\(\Rightarrow\frac{x-12}{4}=\frac{-48}{26}\Rightarrow x=...\)
Tương tự với y, z, nhưng chắc bạn nhầm đề, nếu pt bên dưới là -2 thì nó ra \(\frac{-52}{26}=-2\) kết quả đẹp hơn nhiều
b. Không rõ đề
c.
\(x+y+z=9\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=81=3.27=3\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\Rightarrow\frac{3}{x}=1\Rightarrow x=y=z=3\)
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=6\)
Ta có:
\(\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}\ge2\sqrt{\frac{xy}{xyz^2}}=\frac{2}{z}\) ; \(\frac{x}{yz}+\frac{z}{xy}\ge\frac{2}{y}\) ; \(\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\ge\frac{2}{x}\)
\(\Rightarrow2A\ge2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\Rightarrow A\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
?Amanda?, Phạm Lan Hương, Phạm Thị Diệu Huyền, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma, @Trần Thanh Phương
giúp e với ạ! Cần trước 5h chiều nay! Cảm ơn mn nhiều!
Tranh thủ làm 1, 2 bài rồi ăn cơm:
1/ Đặt \(m=n-2008>0\)
\(\Rightarrow2^{2008}\left(369+2^m\right)\) là số chính phương
\(\Rightarrow369+2^m\) là số chính phương
m lẻ thì số trên chia 3 dư 2 nên ko là số chính phương
\(\Rightarrow m=2k\Rightarrow369=x^2-\left(2^k\right)^2=\left(x-2^k\right)\left(x+2^k\right)\)
b/
\(2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)=a^4+b^4\) \(\left(a+b>2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\le4\left(a+b-2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2\le0\Rightarrow a=b=2\)
\(\Rightarrow x=y=4\)
1, Mk nghĩ là yêu cầu: Tính \(\frac{ax-by-cz}{x-y-z}\) theo x,y,z
Có \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-yz=a\\y^2+xz=b\\z^2+xy=c\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x^3-xyz=ax\\y^3+xyz=by\\z^3+xyz=cz\end{matrix}\right.\)
Có: \(ax-by-cz=x^3-xyz-y^3-xyz-z^3-xyz=x^3-y^3-z^3-3xyz\)
=\(\left(x-y\right)^3+3xy\left(x-y\right)-z^3-3xyz\)
=\(\left(x-y-z\right)\left[\left(x-y\right)^2+z\left(x+y\right)+z^2\right]+3xy\left(x-y-z\right)\)
=\(\left(x-y-z\right)\left(x^2-2xy+y^2+xz+yz+z^2+3xy\right)\)
=\(\left(x-y-z\right)\left(x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz\right)\)
=>\(\frac{ax-by-cz}{x-y-z}=x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz\)
Bài 2 là loại bài buồn ngủ, cách làm cơ bản như sau:
Nhìn hệ số dự đoán điểm rơi xảy ra tại \(x=y\), vậy để tìm hệ số, ta thiết lập các BĐT sau:
\(x^2+y^2\ge2xy\) ; \(a^2x^2+b^2z^2\ge2abxz\) ; \(a^2y^2+b^2z^2\ge2abyz\)
\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)x^2+\left(a^2+1\right)y^2+2b^2z^2\ge2\left(xy+abyz+abzx\right)\) (1)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{2b^2}{a^2+1}=\frac{9}{2}\\ab=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4b^2=9a^2+9\\a=\frac{1}{b}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4b^2=\frac{9}{b^2}+9\Rightarrow4b^4-9b^2-9=0\Rightarrow b=\sqrt{3}\) \(\Rightarrow a=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Hệ số đã xong, vậy thì bài toán được giải như sau:
Ta có:
\(x^2+y^2\ge2xy\) ; \(\frac{1}{3}y^2+3z^2\ge2yz\) ; \(\frac{1}{3}x^2+3z^2\ge2xz\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{4}{3}\left(x^2+y^2+\frac{9}{2}z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{2}{3}.5=\frac{10}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x=y=\sqrt{2};z=\frac{\sqrt{2}}{3}\\x=y=-\sqrt{2};z=-\frac{\sqrt{2}}{3}\end{matrix}\right.\)