Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) A = 12 + 22 + ...+ n2 = 1.(2 - 1) + 2.(3 - 1) + ...+ n.(n+ 1 - 1) = [1.2 + 2.3 + ...+ n.(n+1)] - (1 + 2 + ... + n)
Tính B = 1.2 + 2.3 + ...+ n.(n+1)
=> 3.B = 1.2.3 + 2.3.3 +3.4.3 + ...+ n.(n+1).3
= 1.2.3 + 2.3.(4 -1) + 3.4 .(5 - 2) + ...+ n.(n+1).((n+2) - (n-1) )
= [1.2.3.+ 2.3.4 + 3.4.5 +...+ n.(n+1).(n+2)] - [1.2.3 + 2.3.4 +...+ (n-1).n(n+1)] = n(n+1)(n+2)
=> B = n(n+1).(n+2)/3
Tính 1 + 2 + 3 + ..+ n =(n+1).n / 2
Vậy A = n(n+1).(n+2)/3 - (n+1).n / 2 = n(n+1).(2n+1) / 6
Ta có: \(n^3=n.n.n=n.\left(\frac{n+1+n-1}{2}\right).n\left(\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{2}\right)\)
\(=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\frac{n\left(n-1\right)}{2}\right).\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}-\frac{n\left(n-1\right)}{2}\right)=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2-\left(\frac{n\left(n-1\right)}{2}\right)^2\)
(Áp dụng công thức a2 - b2 = (a-b).(a+b))
Áp dụng vào ta có: \(1^3=\left(\frac{1.2}{2}\right)^2-\left(\frac{1.0}{2}\right)^2\)
\(2^3=\left(\frac{2.3}{2}\right)^2-\left(\frac{2.1}{2}\right)^2\)
\(3^3=\left(\frac{3.4}{2}\right)^2-\left(\frac{3.2}{2}\right)^2\)
......................
\(n^3=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2-\left(\frac{n\left(n-1\right)}{2}\right)^2\)
Cộng từng vế ta được:
\(1^3+2^3+....+n^3=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\)
mk năm nay học lớp 8 mà mới chỉ học công thức thôi chứ chưa học (hoặc đã học mà quên mất) nhưng chứng minh cái này mk mới chỉ học công thức thôi chứ chứng minh bài toán tổng quánthì chịu
a) Nhân cả tử và mẫu với 2 . 4 . 6 ... 40 ta được :
\(\frac{1.3.5...39}{21.22.23...40}=\frac{\left(1.3.5...39\right).\left(2.4.6...40\right)}{\left(21.22.23...40\right).\left(2.4.6...40\right)}\)
\(=\frac{1.2.3...39.40}{1.2.3...40.2^{20}}=\frac{1}{2^{20}}\)
b) Nhân cả tử và mẫu với 2 . 4 . 6 ... 2n ta được :
\(\frac{1.3.5...\left(2n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3....2n\right)}=\frac{1.3.5...\left(2n-1\right).\left(2.4.6...2n\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)...\left(2n\right).\left(2.4.6...2n\right)}\)
\(=\frac{1.2.3...\left(2n-1\right).2n}{1.2.3...2n.2^n}=\frac{1}{2^n}\)
100 + 100 + 100
Các bạn trả lời nhanh nhất mình k cho mà bạn nào trả lời nhanh nhất thì các bạn k cho bạn đấy mình sẽ k lại cho
\(a)\) Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2010^2}\) ta có :
\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2009.2010}\)
\(A< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}\)
\(A< 1-\frac{1}{2010}=\frac{2009}{2010}< 1\)
\(\Rightarrow\)\(A< 1\) ( đpcm )
Vậy \(A< 1\)
Chúc bạn học tốt ~
a) Vì 3\(⋮\)n
=> n\(\in\)Ư(3)={ 1; 3 }
Vậy, n=1 hoặc n=3
\(A=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)...\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(A=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}.....\frac{n}{n+1}\)
\(A=\frac{1}{n+1}\)
1)
42n+1+3n+2= (42)n.4 +3n.32
= 16n.4+3n.9
=13n.4+3n.4+3n.9
=13n.4+3n.(4+9)
= 13n.4+3n.13 = 13.(13n-1+3n) chia het cho 13
=> 42n+1+3n+2 chia hết cho 13
2)
\(A=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)...\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}....\frac{n}{n+1}\)
\(=\frac{1}{n+1}\)
# Mik làm ý A trước nhé, mik sợ dài :
- Với n = 1 \(\Rightarrow1=\frac{1.2.3}{6}\)( đúng )
- Giả sử đẳng thức cũng đúng với\(n=k\)hay :
\(1^2+2^2+3^2+...+k^2=\)\(\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\)
Ta cần chứng minh nó cũng đúng với\(n=k+1\)hay :
\(1^2+2^2+3^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2=\)\(\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\)
Thật vậy, ta có:
\(1^2+2^2+3^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2=\)\(\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(k+1\right)\left(\frac{k\left(2k+1\right)}{6}+k+1\right)=\)\(\left(k+1\right)\left(\frac{2k^2+k+6k+6}{6}\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\left(k+1\right)\left(\frac{2k^2+7k+6}{6}\right)=\)\(\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\)( đpcm )
# giờ mik làm ý B nha !
- Với n = 1 \(\Rightarrow\)1 = 1 ( đúng )
Giả sử bài toán đúng với\(n=k\left(n\inℕ^∗\right)\)thì ta có :
1 + 23 + 33 + .... + k3 = \(\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\left(1\right)\)
Ta cần chứng minh đề bài đúng với\(n=k+1\)tức là :
13 + 23 + 33 + ...... + n3 = \(\left[\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\left(2\right)\)
Đặt \(B=1^3+2^3+...+\left(k+1\right)^3\)
\(=\left(\frac{k\left(k+1\right)}{2}\right)^2+\left(k+1\right)^3\)theo ( 1 )
\(=\left[\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)theo ( 2 )
\(\Rightarrow\left(1\right),\left(2\right)\)đều đúng
Mà \(\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2=\)\(\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow\)\(1^3+2^3+...+n^3=\)\(\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}\)( đpcm )