Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 2. Đặt A=x2+y2+1
Nhập \(2^A=\left(A-2x+1\right)4^x\) vào máy tính Casio. Cho x=0.01, tìm A
Máy sẽ giải ra, A=1.02=1+2x
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+1=1+2x\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2x=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+y^2=1\) (C)
Có (C) là đường tròn tâm (1,0) bán kính R=1
Lại có: P=\(\frac{8x+4}{2x-y+1}\)
\(\Leftrightarrow x\left(2P-8\right)-yP+P-4=0\) (Q)
Có (Q) là phương trình đường thẳng.
Để x,y có nghiệm thì đường thẳng và đường tròn giao nhau nghĩa là d(I,(Q))\(\le R\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|x\left(2P-8\right)-yP+P-4\right|}{\sqrt{\left(2P-8\right)^2+P^2}}\le1\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|2P-8+P-4\right|}{\sqrt{\left(2P-8\right)^2+1}}\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(3P-12\right)^2\le5P^2-32P+64\)
\(\Leftrightarrow4P^2-40P+80\le0\)
\(\Leftrightarrow5-\sqrt{5}\le P\le5+\sqrt{5}\)
Vậy GTNN của P gần số 3 nhất. Chọn C
4.
\(xy+y=2\Leftrightarrow xy=2-y\Rightarrow x=\frac{2-y}{y}=\frac{2}{y}-1\)
\(\Rightarrow P=x+y^2=y^2+\frac{2}{y}-1\)
\(\Rightarrow P=y^2+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}-1\ge3\sqrt[3]{\frac{y^2}{y.y}}-1=2\)
\(\Rightarrow P_{min}=2\) khi \(x=y=1\)
1.
\(y'=3x^2-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)
\(y\left(0\right)=5;\) \(y\left(1\right)=3;\) \(y\left(2\right)=7\)
\(\Rightarrow y_{min}=3\)
2.
\(y'=4x^3-8x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
\(f\left(-2\right)=-3\) ; \(y\left(0\right)=-3\) ; \(y\left(-\sqrt{2}\right)=-7\) ; \(y\left(1\right)=-6\)
\(\Rightarrow y_{max}=-3\)
3.
\(y'=\frac{\left(2x+3\right)\left(x-1\right)-x^2-3x}{\left(x-1\right)^2}=\frac{x^2-2x-3}{\left(x-1\right)^2}=0\Rightarrow x=-1\)
\(y_{max}=y\left(-1\right)=1\)
4.
\(y'=\frac{2\left(x^2+2\right)-2x\left(2x+1\right)}{\left(x^2+2\right)^2}=\frac{-2x^2-2x+4}{\left(x^2+2\right)^2}=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)
\(y\left(1\right)=1\) ; \(y\left(-2\right)=-\frac{1}{2}\Rightarrow y_{min}+y_{max}=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}\)
10.
\(\left(2x-3yi\right)+\left(1-3i\right)=x+6i\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)+\left(-3y-3\right)i=x+6i\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+1=x\\-3y-3=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-3\end{matrix}\right.\)
6.
\(\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2\le25\)
\(\Rightarrow\left|\left(x+1\right)-\left(y-2\right)i\right|\le5\)
\(\Rightarrow z\) là số phức: \(\left\{{}\begin{matrix}z=\left(x+1\right)-\left(y-2\right)i\\\left|z\right|\le5\end{matrix}\right.\)
Lưu ý: hình tròn khác đường tròn. Phương trình đường tròn là \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2\)
Pt hình tròn là: \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2\le R^2\)
3.
\(z=x+yi\Rightarrow\left|x-2+\left(y-4\right)i\right|=\left|x+\left(y-2\right)i\right|\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y-4\right)^2=x^2+\left(y-2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow-4x-8y+20=-4y+4\)
\(\Leftrightarrow x=-y+4\)
\(\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\left(-y+4\right)^2+y^2}=\sqrt{2y^2-8y+16}\)
\(\left|z\right|=\sqrt{2\left(x-2\right)^2+8}\ge\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)
17.
\(z^2+4z+4=-1\Leftrightarrow\left(z+2\right)^2=i^2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z_1=-2+i\\z_2=-2-i\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow w=\left(-1+i\right)^{100}+\left(-1-i\right)^{100}=\left(1-i\right)^{100}+\left(1+i\right)^{100}\)
Ta có: \(\left(1-i\right)^2=1+i^2-2i=-2i\)
\(\Rightarrow\left(1-i\right)^{100}=\left(1-i\right)^2.\left(1-i\right)^2...\left(1-i\right)^2\) (50 nhân tử)
\(=\left(-2i\right).\left(-2i\right)...\left(-2i\right)=\left(-2\right)^{50}.i^{50}=2^{50}.\left(i^2\right)^{25}=-2^{50}\)
Tượng tự: \(\left(1+i\right)^2=1+i^2+2i=2i\)
\(\Rightarrow\left(1+i\right)^{100}=2i.2i...2i=2^{50}.i^{50}=-2^{50}\)
\(\Rightarrow w=-2^{50}-2^{50}=-2^{51}\)
18.
\(z'=\left(\frac{1+i}{2}\right)\left(3-4i\right)=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i\)
\(\Rightarrow M\left(3;-4\right)\) ; \(M'\left(\frac{7}{2};-\frac{1}{2}\right)\)
\(S_{OMM'}=\frac{1}{2}\left|\left(x_M-x_O\right)\left(y_{M'}-y_O\right)-\left(x_{M'}-x_O\right)\left(y_M-y_O\right)\right|\)
\(=\frac{1}{2}\left|3.\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{7}{2}.\left(-4\right)\right|=\frac{25}{4}\)
Câu 1: Là \(ln^2x+lnx\) hay \(lnx^2+lnx\) bạn, hai cái này khác nhau lắm, viết thế kia chẳng hiểu gì cả. Biểu thức logarit nếu viết mũ, thì hoặc là viết thế này \(ln^2x\) hoặc là \(\left(lnx\right)^2\), nếu viết \(ln\left(x\right)^2\) người ta sẽ mặc định hiểu là \(ln\left(x^2\right)\)
Chắc là cái đầu, vậy ta biến đổi được:
\(lnx\left(lnx+1\right)=lnx\left(lnx+lne\right)=lnx.ln\left(x.e\right)=ln\left(x.e\right)^{lnx}\)
Câu 2: đạo hàm 4 cái ra, dễ dàng nhận ra ở đáp án d, với \(x\ge0\Rightarrow f'\left(x\right)=3x^2+4x+\frac{1}{2\sqrt{x}}>0\) luôn đồng biến nên hàm không có cực trị
Câu 3:
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\frac{m-x}{x+1}=2x+m\Leftrightarrow m-x=2x^2+\left(m+2\right)x+m\)
\(\Leftrightarrow2x^2+\left(m+3\right)x=0\)
Phương trình luôn có nghiệm \(x=0\) hay ít nhất 1 trong 2 điểm A; B sẽ trùng gốc tọa độ tức \(OA=0\) hoặc \(OB=0\)
Do đó ko tồn tại m thỏa mãn
Câu 4:
\(\left\{{}\begin{matrix}lnx=X\\lny=Y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2X^2+3Y^2=5\\X+4Y=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(3-4Y\right)^2+3Y^2=5\)
\(\Leftrightarrow35Y^2-48Y+13=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}Y=1\Rightarrow X=-1\\Y=\frac{13}{35}\Rightarrow X=\frac{53}{35}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}lnx=-1\\lny=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(e^{-1};e\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=-1\\d=1\end{matrix}\right.\)
Hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}lnx=\frac{53}{35}\\lny=\frac{13}{35}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=e^{\frac{53}{35}}=e\sqrt[35]{e^{18}}\\y=e^{\frac{13}{35}}=\sqrt[35]{e^{13}}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=35\)
Đáp án b sai
\(\left(xy-1\right)2^{2xy-1}=\left(x^2+y\right)2^{x^2+y}\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)2^{2\left(xy-1\right)+1}=\left(x^2+y\right)2^{x^2+y}\)
\(\Leftrightarrow2\left(xy-1\right)2^{2\left(xy-1\right)}=\left(x^2+y\right)2^{x^2+y}\)
Do vế phải luôn dương \(\Rightarrow VT>0\Rightarrow xy-1>0\) (1)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t.2^t\) với \(t>0\Rightarrow f'\left(t\right)=2^t+t.2^t.ln2>0\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến \(\Rightarrow f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)\Leftrightarrow t_1=t_2\)
\(\Rightarrow2\left(xy-1\right)=x^2+y\Rightarrow2xy-y=x^2+2\) (thay \(x=\dfrac{1}{2}\) thấy ko phải nghiệm)
\(\Rightarrow y=\dfrac{x^2+2}{2x-1}\) (2)
Thay (2) vào (1): \(xy-1>0\Rightarrow x.\left(\dfrac{x^2+2}{2x-1}\right)-1>0\Rightarrow\dfrac{x^3+2x}{2x-1}-1>0\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^3+1}{2x-1}>0\Rightarrow2x-1>0\) (do \(x>0\Rightarrow x^3+1>0\))
Vậy \(y=\dfrac{x^2+2}{2x-1}=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{4\left(2x-1\right)}=\dfrac{2x-1}{4}+\dfrac{9}{4\left(2x-1\right)}+\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y\ge2\sqrt{\dfrac{\left(2x-1\right)}{4}.\dfrac{9}{4\left(2x-1\right)}}+\dfrac{1}{2}=2\)
\(\Rightarrow y_{min}=2\) khi \(\dfrac{2x-1}{4}=\dfrac{9}{4\left(2x-1\right)}\Rightarrow x=2\)
Đáp án B
5.
\(y'=1-\frac{4}{\left(x-3\right)^2}=0\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=4\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=2\\x-3=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=1< 3\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
BBT:
Từ BBT ta có \(y_{min}=y\left(5\right)=7\)
\(\Rightarrow m=7\)
3.
\(y'=-2x^2-6x+m\)
Hàm đã cho nghịch biến trên R khi và chỉ khi \(y'\le0;\forall x\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=9+2m\le0\)
\(\Rightarrow m\le-\frac{9}{2}\)
4.
\(y'=x^2-mx-2m-3\)
Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi và chỉ khi \(y'\ge0;\forall x>-2\)
\(\Leftrightarrow x^2-mx-2m-3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-3\ge m\left(x+2\right)\Leftrightarrow m\le\frac{x^2-3}{x+2}\)
\(\Leftrightarrow m\le\min\limits_{x>-2}\frac{x^2-3}{x+2}\)
Xét \(g\left(x\right)=\frac{x^2-3}{x+2}\) trên \(\left(-2;+\infty\right)\Rightarrow g'\left(x\right)=\frac{x^2+4x+3}{\left(x+2\right)^2}=0\Rightarrow x=-1\)
\(g\left(-1\right)=-2\Rightarrow m\le-2\)
14.
\(log_aa^2b^4=log_aa^2+log_ab^4=2+4log_ab=2+4p\)
15.
\(\frac{1}{2}log_ab+\frac{1}{2}log_ba=1\)
\(\Leftrightarrow log_ab+\frac{1}{log_ab}=2\)
\(\Leftrightarrow log_a^2b-2log_ab+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(log_ab-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow log_ab=1\Rightarrow a=b\)
16.
\(2^a=3\Rightarrow log_32^a=1\Rightarrow log_32=\frac{1}{a}\)
\(log_3\sqrt[3]{16}=log_32^{\frac{4}{3}}=\frac{4}{3}log_32=\frac{4}{3a}\)
11.
\(\Leftrightarrow1>\left(2+\sqrt{3}\right)^x\left(2+\sqrt{3}\right)^{x+2}\)
\(\Leftrightarrow\left(2+\sqrt{3}\right)^{2x+2}< 1\)
\(\Leftrightarrow2x+2< 0\Rightarrow x< -1\)
\(\Rightarrow\) có \(-2+2020+1=2019\) nghiệm
12.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2>0\\0< log_3\left(x-2\right)< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>2\\1< x-2< 3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow3< x< 5\Rightarrow b-a=2\)
13.
\(4^x=t>0\Rightarrow t^2-5t+4\ge0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\le1\\t\ge4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4^x\le1\\4^x\ge4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le0\\x\ge1\end{matrix}\right.\)
Bài 2: Mình nghĩ điều kiện sửa thành $a,b\in\mathbb{N}$ thôi thì đúng hơn.
ĐKĐB $\Leftrightarrow \log_2[(2x+1)(y+2)]^{y+2}=8-(2x-2)(y+2)$
$\Leftrightarrow (y+2)\log_2[(2x+1)(y+2)]=8-(2x-2)(y+2)$
$\Leftrightarrow (y+2)[\log_2[(2x+1)(y+2)]+(2x-2)]=8$
$\Leftrightarrow \log_2[(2x+1)(y+2)]+(2x-2)]=\frac{8}{y+2}$
$\Leftrightarrow \log_2(2x+1)+\log_2(y+2)+(2x+1)-3=\frac{8}{y+2}$
$\Leftrightarrow \log_2(2x+1)+(2x+1)=\frac{8}{y+2}+3-\log_2(y+2)=\frac{8}{y+2}+\log_2(\frac{8}{y+2})(*)$
Xét hàm $f(t)=\log_2t+t$ với $t>0$
$f'(t)=\frac{1}{t\ln 2}+1>0$ với mọi $t>0$
Do đó hàm số đồng biến trên TXĐ
$\Rightarrow (*)$ xảy ra khi mà $2x+1=\frac{8}{y+2}$
$\Leftrightarrow 8=(2x+1)(y+2)$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$8=(2x+1)(y+2)\leq \left(\frac{2x+1+y+2}{2}\right)^2$
$\Rightarrow 2\sqrt{2}\leq \frac{2x+y+3}{2}$
$\Rightarrow 2x+y\geq 4\sqrt{2}-3$
Vậy $P_{\min}=4\sqrt{2}-3$
$\Rightarrow a=4; b=2; c=-3$
$\Rightarrow a+b+c=3$
Đáp án B.
2.
\(\Leftrightarrow\left(y+2\right)log_2\left(2x+1\right)\left(y+2\right)=8-\left(2x-2\right)\left(y+2\right)\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(2x+1\right)\left(y+2\right)=\frac{8}{y+2}-2x+2\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(2x+1\right)+log_2\left(y+2\right)=\frac{8}{y+2}-2x+2\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(2x+1\right)+\left(2x+1\right)=-log_2\left(y+2\right)+3+\frac{8}{y+2}\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(2x+1\right)+\left(2x+1\right)=log_2\left(\frac{8}{y+2}\right)+\frac{8}{y+2}\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=log_2t+t\Rightarrow f'\left(t\right)=\frac{1}{t.ln2}+1>0;\forall t>0\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến \(\Rightarrow2x+1=\frac{8}{y+2}\)
\(\Rightarrow2x=\frac{8}{y+2}-1=\frac{6-y}{y+2}\)
\(\Rightarrow P=2x+y=y+\frac{6-y}{y+2}=y+\frac{8}{y+2}-1\)
\(\Rightarrow P=y+2+\frac{8}{y+2}-3\ge2\sqrt{\frac{8\left(y+2\right)}{y+2}}-3=4\sqrt{2}-3\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=2\\c=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b+c=3\)