Ta chứng minh 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2 (1)
Giả sử (1) đúng với n = k ta chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1
hay 13 + 23 + 33 + ... + (k + 1)3 = (1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1)2
Khi đó ta có : 13 + 23 + 33 + ... + k3 = (1 + 2 + 3 + ... + k)2(2)
Từ (2) ta được 13 + 23 + 33 + ... + (k + 1)3 = (1 + 2 + 3 + ... + k)2 + (k + 1)3
\(=\left[\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2+\left(k+1\right)^3\)
\(=\left(k+1\right)^2\left(\dfrac{k^2}{4}+k+1\right)\)
\(=\left(k+1\right)^2.\dfrac{k^2+4k+4}{4}=\left[\dfrac{\left(k+1\right).\left(k+2\right)}{2}\right]^2\) (*)
mà (1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1)2 = \(\left[\dfrac{\left(k+1\right).\left(k+2\right)}{2}\right]^2\) (**)
Từ (*) ; (**) ta được ĐPCM .
Áp dụng cho bài toán ta có :
A = 13 + 23 + 33 + ... + 20233
= (1 + 2 + 3 + ... + 2023)2 \(=\dfrac{2023^2.2024^2}{4}\)
=> \(A⋮7\) => Sau A ngày sẽ là thứ 6 trong tuần
