Theo giả thiết ta có:
\(\Delta ABC=\Delta A'B'C'\) \(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{A'C'B'}\Rightarrow\widehat{DCB}=DBC\Rightarrow\Delta DBC\) cân tại D, suy ra DB = DC (1)
Mặt khác: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=90^0\\\widehat{ABD}+\widehat{DBC}=90^0\\\widehat{ACB}=\widehat{DBC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{ABD}\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{BAD}\)
Suy ra tam giác DAB cân tại D, do đó: DB = DA (2)
Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC ứng với cạnh huyền AC.
Do đó:
\(S_{\Delta CBD}=\dfrac{S_{\Delta ABC}}{2}=\dfrac{S_{\Delta A'B'C'}}{2}\Rightarrow2S_{\Delta CBD}=S_{\Delta ABC}=S_{\Delta A'B'C'}\)
Vì vậy ta có:
\(S_{\Delta BADB'A'}=S_{\Delta ABC}+S_{\Delta A'B'C'}-S_{\Delta CBD}=2S_{\Delta CBD}+2S_{\Delta CBD}-S_{\Delta CBD}\\ =3S_{\Delta CBD}\\ \Rightarrow\dfrac{S_{\Delta CBD}}{S_{\Delta BADB'A'}}=\dfrac{1}{3}\left(đpcm\right)\)
