Giả sử 7 số tự nhiên thõa mãn bài toán là: a,b,c,d,e,f,g.
Một số tự nhiên chia cho 7 thì số dư có thể là: 1;2;3;4;5;6.
Do đó tổng hai số tự nhiên bất kì chia hết cho 7 khi cả hai số đều chia hết cho 7 hoặc tổng số dư khi chia mỗi số đó cho 7 bằng 7.
TH 1:
Không mất tính tổng quát giả sử a chia hết cho 7
Khi đó tổng a+b; a+c; a+d; a+e; a+f; a+g đều chia hết cho 7.
Suy ra b,c,d,e,f,g đều chia hết cho 7.
Dễ thấy trong trường hợp này tổng hai số bất kì trong 7 số đều chia hết cho 7.
Vậy nếu một số trong 7 số chia hết cho 7 thì 7 số đó đều phải chia hết cho 7.
TH 2:
Không mất tính tổng quát giả sử a chia cho 7 có số dư bằng 1.
Khi đó b,c,d,e,f,g chia cho 7 đều có số dư là 6.
Nhưng b + c có tổng số dư mỗi số khi chia cho 7 bằng 12 không chia hết cho 7 nên tổng b + c không chia hết cho 7.
Tóm lại nếu một số không chia hết cho 7 thì không tồn tại 7 số thõa mãn bài toán.
Vậy 7 số tự nhiên thõa mãn bài toán thì 7 số đó đều chia hết cho 7.
