Trước tiên cần chứng minh độ dài tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn tiếp xúc nhau bằng hai lần trung bình nhân hai bán kính đường tròn ấy.

Ta thấy EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tâm A và tâm B

Từ điểm tiếp xúc C của hai đường tròn kẻ tiếp tuyến chung CD của hai đường tròn cắt EF tại D 

Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau ⇒CD=ED , CD=DF

                                                                      ⇒CD=\(\dfrac{EF}{2}\)

⇒ tam giác ECF vuông tại C ( định lí đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Dễ dàng chứng minh được tứ giác ACDE và tứ giác BCDF nội tiếp ( tổng hai góc đối bằng 180^o)

⇒\(\widehat{CAD}=\widehat{CED}\)  và \(\widehat{CBD}=\widehat{CFD}\)

Mà \(\widehat{CED}+\widehat{CFD}=90^o\)  ⇒\(\widehat{CAD}+\widehat{CBD}=90^o\)   ⇒ tam giác ADB vuông tại D

                                                                       Mà DC ⊥ AB tại C 

                 ⇒ \(DC^2=AC.BC\)  ⇒ \(DC=\sqrt{AC.BC}\)  ⇒ \(EF=2\sqrt{AC.BC}\)

              Mà AC là bán kính đường tròn tâm A , BC là bán kính đường tròn tâm B 

 Do đó độ dài tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn tiếp xúc nhau bằng hai lần trung bình nhân hai bán kính đường tròn ấy

Quay lại đề bài trên ,ta có 

+ \(MN=2\sqrt{4r}\) , \(NP=2\sqrt{2r}\) , \(MP=2\sqrt{4.2}=4\sqrt{2}\)

Mà NM+NP=MP

⇒  \(2\sqrt{4r}+2\sqrt{2r}=4\sqrt{2}\)   ⇔ \(\sqrt{2r}+\sqrt{r}=2\) ⇔\(\sqrt{r}\left(\sqrt{2}+1\right)=2\) ⇔\(\sqrt{r}=2\sqrt{2}-2\)    ⇔ \(r=12-8\sqrt{2}\)     (thoả mãn lớn hơn 0)

    Vậy \(r=12-8\sqrt{2}\)    (đơn vị đo độ dài)