Gọi độ dài bán kính của hình tròn là r
\(\Rightarrow\) Đường kính của hình tròn bằng 2r
Ta có: CD = CB (cùng là cạnh của hình vuông ABCD)
\(\Rightarrow CD^2=CB^2\)
Áp dụng định lý Py-ta-go vào \(\Delta BDC\) được:
\(CD^2+CB^2=DB^2\)
\(\Leftrightarrow2CB^2=\left(2r\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2CB^2=4r^2\)
\(\Leftrightarrow CB^2=2r^2\)
\(\Leftrightarrow CB=r\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow S_{ABCD}=\left(r\sqrt{2}\right)^2\)
\(=2r^2\) (đơn vị diện tích)
Gọi O là tâm hình tròn, s là độ dài 1 cạnh của hình vuông EFHG.
Hạ OI vuông góc với GH tại I, kẻ bán kính OG.
Ta thấy: OG = OH (cùng là bán kính của hình tròn tâm O)
\(\Rightarrow\) OI là trung trực của GH
\(\Rightarrow\) I là trung điểm của GH
\(\Rightarrow GI=\dfrac{GH}{2}=\dfrac{s}{2}\)
Lại thấy: \(OI=\dfrac{BD}{2}+FH\)
\(\Rightarrow OI=\dfrac{r\sqrt{2}}{2}+s\)
Áp dụng định lý Py-ta-go vào \(\Delta OGI\) được:
\(OI^2+GI^2=OG^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{r\sqrt{2}}{2}+s\right)^2+\left(\dfrac{s}{2}\right)^2=r^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{s}{2}+\dfrac{r\sqrt{2}}{2}+s\right)^2-2\cdot\dfrac{s}{2}\left(\dfrac{r\sqrt{2}}{2}+s\right)=r^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{s}{2}\right)^2+\left(\dfrac{r\sqrt{2}}{2}\right)^2+s^2+2\cdot\dfrac{s}{2}\cdot\dfrac{r\sqrt{2}}{2}+2\cdot\dfrac{s}{2}\cdot s+2\cdot\dfrac{r\sqrt{2}}{2}\cdot s-2\cdot\dfrac{s}{2}\cdot\dfrac{r\sqrt{2}}{2}-2\cdot\dfrac{s}{2}\cdot s=r^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{s^2}{4}+\dfrac{2r^2}{4}+s^2+s\left(r\sqrt{2}\right)-s^2=r^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{5s^2}{4}+s\left(r\sqrt{2}\right)+\dfrac{r^2}{2}-r^2=0\)
\(\Leftrightarrow s^2\cdot\dfrac{5}{4}+s\left(r\sqrt{2}\right)-\dfrac{r^2}{2}=0\)
Nhân cả 2 vế với 4 ta được:
\(5s^2+4s\left(r\sqrt{2}\right)-2r^2=0\)
\(\Leftrightarrow5s^2+5s\left(r\sqrt{2}\right)-s\left(r\sqrt{2}\right)-\left(r\sqrt{2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow5s\left(s+r\sqrt{2}\right)-r\sqrt{2}\left(s+r\sqrt{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(5s-r\sqrt{2}\right)\left(s+r\sqrt{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5s-r\sqrt{2}=0\\s+r\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5s=r\sqrt{2}\\s=-r\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}s=\dfrac{r\sqrt{2}}{5}\\s=-r\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)(kết quả \(s=-r\sqrt{2}\) loại vì s là độ dài cạnh của hình vuông EFHG luôn dương)
Vậy \(s=\dfrac{r\sqrt{2}}{5}\)
\(\Rightarrow S_{EFHG}=\left(\dfrac{r\sqrt{2}}{5}\right)^2\)
\(=\dfrac{2r^2}{25}\) (đơn vị diện tích)
Ta thấy: \(\dfrac{S_{ABCD}}{S_{EFHG}}=\dfrac{2r^2}{\dfrac{2r^2}{25}}=25\)
Vậy tỉ lệ diện tích giữa hình vuông màu xanh ABCD và hình vuông màu cam EFHG là 25 lần (đpcm)
