Từ I kẻ đường thẳng song song với AC, từ F kẻ đường thẳng song song với CD sao cho 2 cạnh trên giao nhau tại M.

Kẻ các bán kính của hình tròn tâm O sao cho chúng vuông góc với AB và AC, kẻ các bán kính của hình tròn tâm J sao cho chúng vuông góc với BD và DC. Kẻ các đường thẳng từ M sao cho chúng vuông góc với AC và CD.

Ta thấy: MJ = 8 - r - r = 8 - 2r

              MI =  6 - r - r = 6 - 2r

Áp dụng định lý Py - ta - go vào \(\Delta MIJ\) có:

      \(MI^2+MJ^2=IJ^2\)

\(\Leftrightarrow\left(6-2r\right)^2+\left(8-2r\right)^2=IJ^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(6-2r\right)^2+\left(8-2r\right)^2}=IJ^{\left(1\right)}\)

Áp dụng định lý Py - ta - go vào \(\Delta BCD\) có:

     \(BD^2+DC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow6^2+8^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow36+64=BC^2\)

\(\Leftrightarrow100=BC^2\)

\(\Leftrightarrow BC=\sqrt{100}=10\)

Ta thấy: \(S_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot BC}{2}=\dfrac{6\cdot8}{2}=\dfrac{48}{2}=24\)

Lại thấy: \(S_{\Delta IAC}=\dfrac{6r}{2}=3r\)

               \(S_{\Delta IAB}=\dfrac{8r}{2}=4r\)

               \(S_{\Delta ICB}=\dfrac{10r}{2}=5r\)

Lại thấy: \(S_{\Delta ABC}=S_{\Delta lAC}+S_{\Delta IAB}+S_{\Delta ICB}\)

           \(\Leftrightarrow24=3r+4r+5r\)

           \(\Leftrightarrow24=\left(3+4+5\right)r\)      

           \(\Leftrightarrow24=12r\)

            \(\Leftrightarrow r=\dfrac{24}{12}=2^{\left(2\right)}\)

Thay ⁽²⁾ vào ⁽¹⁾ có:

     \(IJ=\sqrt{\left(6-2.2\right)^2+\left(8-2.2\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow IJ=\sqrt{\left(6-4\right)^2+\left(8-4\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow IJ=\sqrt{2^2+4^2}\)

\(\Leftrightarrow IJ=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\)

Vậy \(IJ=\sqrt{20}\) (đơn vị diện tích)