Ta có :

+) \(\overline{abc}\) ⋮ 4 => \(\overline{bc}\) ⋮ 4 (1)

+) \(\overline{bcd}\) ⋮ 5 => d ⋮ 5 (2)

+) \(\overline{cde}\) ⋮ 3 (3)

+) Tổng các chữ số của số \(\overline{abcde}\) là :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 ⋮ 3 => \(\overline{abcde}\) ⋮ 3

=> 1000 . \(\overline{ab}\) + \(\overline{cde}\) ⋮ 3 , kết hợp (3) => 1000 . \(\overline{ab}\) ⋮ 3 mà ( 1000 , 3 ) = 1

=> \(\overline{ab}\) ⋮ 3 => a + b ⋮ 3 => a ≠ 3 ( do không nó số nào trong các số đã cho cộng với 3 chia hết cho 3 ) (4)

Từ (2) => d = 5 ( do trong các chữ số đã cho chữ số 5 chia hết cho 5 ) (5)

Từ (4) và (5) => ( a , b ) ∈ { ( 1 , 2 ) ; ( 2 , 4 ) ; ( 4 , 2 ) ; ( 2 , 1 ) } ( do a + b ⋮ 3 )

+) a = 1 ; b = 2 => \(\overline{12c}\) ⋮ 4 => c = 4

+) a = 2 ; b = 4 => \(\overline{24c}\) ⋮ 4 => c không tồn tại

+) a = 4 ; b = 2 => \(\overline{42c}\) ⋮ 4 => c không tồn tại ( do a = 4 nên c ≠ 4 )

+) a = 2 ; b = 1 => \(\overline{21c}\) ⋮ b => c không tồn tại ( do a = 2 nên c ≠ 2 )

Vậy a = 1 thỏa mãn yêu cầu đề bài