Từ đề bài, ta có bảng thể hiện lượng nước trong mỗi cốc sau một vài lần đổ như sau:

Từ bảng trên, ta có thể đoán được quy luật sau các lần đổ nước là cứ sau lần đổ nước thứ x (với x là số tự nhiên lẻ) thì lượng nước trong mỗi cốc đều là \(\dfrac{1}{2}\).

Đến đây, ta sẽ dùng phương pháp quy nạp để chứng minh.

Giả sử, sau lần đổ nước thứ (2k - 1) thì lượng nước trong mỗi cốc là \(\dfrac{1}{2}\). (k là một số nguyên dương)

Ta cần chứng minh rằng sau lần đổ nước thứ (2k + 1) thì lượng nước trong mỗi cốc là \(\dfrac{1}{2}\).

Ta có: Cứ lần đổ nước chẵn là lần đổ nước từ cốc B sang cốc A và cứ lần đổ nước lẻ là lần đổ nước từ cốc A sang cốc B

Nên sau lần đổ nước thứ 2k thì lượng nước trong hai cốc A và B lần lượt là \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2k+1}\times\dfrac{1}{2}\)  và \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2k+1}\times\dfrac{1}{2}\) .

Khi đó lượng nước trong hai cốc A và B lần lượt là \(\dfrac{k+1}{2k+1}\) và \(\dfrac{k}{2k+1}\).

Sau lần đổ nước thứ (2k + 1) thì lượng nước trong hai cốc A và B lần lượt là \(\dfrac{k+1}{2k+1}-\dfrac{1}{2k+2}\times\dfrac{k+1}{2k+1}\) và \(\dfrac{k}{2k+1}+\dfrac{1}{2k+2}\times\dfrac{k+1}{2k+1}\).

Khi đó lượng nước trong hai cốc A và B lần lượt là \(\dfrac{1}{2}\) và \(\dfrac{1}{2}\).

Từ đó, ta đã chứng minh được quy luật đã nói ở trên là đúng.

Áp dụng quy luật trên, thì sau lần đổ nước thứ 2021, lượng nước trong mỗi cốc đều là \(\dfrac{1}{2}\).

Khi đó sau lần đổ nước thứ 2022 thì lượng nước trong hai cốc A và B lần lượt là \(\dfrac{1012}{2023}\) và \(\dfrac{1011}{2023}\).

Vậy sau lần đổ nước thứ 2022 thì lượng nước còn lại trong cốc A bằng \(\dfrac{1012}{2023}\) lượng nước ban đầu.

*Ghi chú: các phân số được viết ở trong bài làm là lượng nước ở các cốc khi đó so với lượng nước ban đầu.