Gọi các số a, b, c, d lần lượt là các kí hiệu thay cho các ngôi sao màu đỏ, vàng, xanh lá, xanh dương.

Khí đó, ta có: \(\overline{ba}\times\overline{ca}=\overline{ddd}\) (1)

Do \(\overline{ddd}\) là số có 3 chữ số giống nhau nên số đó chia hết cho 111

Mà 111 = 3 x 37 nên 1 trong hai nhân tử ở vế trái phải có một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 37 (trong đó không có số nào chia hết cho cả 3 và 37)

Giả sử số \(\overline{ba}\) chia hết cho 3 và \(\overline{ca}\) chia hết cho 37 (trường hợp còn lại làm tương tự)

Từ (1) ta có: \(\dfrac{\overline{ba}}{3}\times\dfrac{\overline{ca}}{37}\le9\) (do \(\overline{ddd}\) là số có 3 chữ số)

Do \(\overline{ca}\) là số có 2 chữ số mà \(\overline{ca}\) chia hết cho 37 nên \(\overline{ca}\) = 37 hoặc \(\overline{ca}\) = 74

+) Nếu \(\overline{ca}\) = 37 thì a = 7 và \(\dfrac{\overline{ba}}{3}\le9\)

Suy ra \(\overline{b7}\le27\) và \(\overline{b7}⋮3\)

Ta dễ dàng tìm được b = 2

Khi đó, ta có: \(27\times37=999\)

+) Nếu \(\overline{ca}\) = 74 thì a = 4 và \(\dfrac{\overline{ba}}{3}\le\dfrac{9}{2}\)

Suy ra \(\overline{b4}\le13\) và \(\overline{b4}⋮3\)

Ta không tìm được b thỏa mãn trường hợp này.

Vậy ta có hai cách thay các chữ số vào các ngôi sao để thỏa mãn đề bài là \(27\times37=999\) và \(37\times27=999\)