Gọi: Độ dài cạnh hình vuông ABCD là a
Độ dài cạnh BE là b
Độ dài cạnh DF là c
=> Độ dài cạnh CE là x-b
Độ dài cạnh FC là x-c
+ Vì \(S_{\Delta ABE}=3\left(đvdt\right)\) và \(S_{\Lambda ABE}=\dfrac{AB.BE}{2}=\dfrac{ab}{2}\) nên \(\dfrac{ab}{2}=3\) hay \(ab=6\) (1)
+ Vì \(S_{\DeltaÀFD}=4\left(đvdt\right)\) và \(S_{\Delta AFD}=\dfrac{AD.FD}{2}=\dfrac{ac}{2}\) nên \(\dfrac{ac}{2}=4\) hay \(ac=8\) (2)
+ Vì \(S_{\Delta EFC}=5\left(đvdt\right)\) và \(S_{\Delta EFC}=\dfrac{FC.CE}{2}=\dfrac{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}{2}\) nên \(\dfrac{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}{2}=5\) hay \(\left(a-c\right)\left(a-b\right)=10\\ \Leftrightarrow a^2-\left(ab+ac\right)+bc=10\\ \Leftrightarrow a^2-\left(6+8\right)+bc=10\\ a^2-14+bc=10\\ \Leftrightarrow a^2+bc=24\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow a^2bc=48\)
=> Ta có hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+bc=24\\a^2bc=48\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow X^2-24X+48=0\)
Giải phương trình X²-24X+48=0: \(\Delta'=12^2-48=96>0\)
=> Phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt:
\(X_1=12+\sqrt{96}=12+4\sqrt{6}\)
\(X_2=12-\sqrt{96}=12-4\sqrt{6}\)
Lại có: \(S_{ABCD}=S_{\Delta ABE}+S_{\Delta EFC}+S_{\Lambda AFD}+S_{\Delta AEF}=3+5+4+S_{\Delta AEF}=12+S_{\Delta AEF}>12\left(đvdt\right)\)
Hay \(a^2>12\)
\(\Rightarrow a^2=12+4\sqrt{6}\)
\(\Rightarrow S_{\Delta AEF}=S_{ABCD}-12=a^2-12=4\sqrt{6}\left(đvdt\right)\)
Vậy \(S_{\Delta AEF}=4\sqrt{6}\left(đvdt\right)\)
