1+2+3+..+\(\overline{bc}\)=\(\dfrac{\overline{bc}\left(bc+1\right)}{2}\)

→\(\overline{bc}.\left(\overline{bc}+1\right)=2\overline{abc}\)

→\(\overline{bc}.\overline{bc}+\overline{bc}=2.\overline{a.bc}\)

→\(\overline{bc}.\overline{bc}.-\overline{bc}=2\overline{a00}\)

→\(\overline{bc}.\left(\overline{bc}-1\right)=2.\overline{a00}\)

\(\overline{a00}\) có số cuối là 0 →\(\overline{bc}.\left(\overline{bc}-1\right)\)có số cuối là 0.

→C=1, C=6, C=5 hoặc C=0

Với C=1→\(\overline{b1}.\overline{b0}=2.\overline{a00}\). Vế trái \(⋮̸\)100→loại.

Với C=0→\(\overline{b0}.\left(\overline{b0}-1\right)=2.\overline{a00}\) (loại).

Với C=6→\(\overline{b6}.\overline{b5}=2.\overline{a00}\)

             →b=7. T thay vào (loại).

Với C=3→\(\overline{b5}.\overline{b4}=2.\overline{a00}\)

             →b=2→a=3

Vậy \(\overline{abc}\)=325