a. Vì tam giác BAC vuông ở A và MNPA là hình chữ nhật nên tam giác MBN đồng dạng với tam giác PNC (g.g). Vậy BM/NP=MN/PC hay 4/NP=MN/3 hay MN x NP=3x4=12=Diện tích hình chữ nhật AMNP tô màu xanh cần tính

b. 2xDiện tích tam giác vuông ABC=ABxAC=(4+AM) x (3+AP)=12+Diện tích hình chữ nhật AMNP+4AP+3AM=24+4AP+3AM

Áp dụng BĐT Cosi 4AP+3AM=AP+AP+AP+AP+3/4AM+3/4AM+3/4AM+3/4AM ≥ 8 [(APxAM)4x(3/4)4 ]1/8=8\(\sqrt{\dfrac{3}{4}}\)x (Diện tích hình chữ nhật AMNP)1/2=8\(\sqrt{\dfrac{12x3}{4}}\)=8x3=24 

Vậy diện tích tam giác vuông ABC nhỏ nhất=(24+24)/2=24 khi dấu = xảy ra ở trên hay AP=3/4 AM

Ta cần chứng minh thêm là có thể dựng được tam giác ABC và AMNP thỏa mãn để diện tích ABC nhỏ nhất như trên như sau:

Vẽ cạnh AC là 3+3x với x >0 bất kỳ, trên đó lấy P để AP=3x, PC=3. Từ A dựng AB vuông góc AC tại A và AB=4+4x, trên đó lấy M để AM=4x, BM=4. Nối B-C. Từ M dựng đường thẳng // AC cắt BC ở N. Ta sẽ chứng minh AMNP là hình chữ nhật.

Thật vậy, vì MN//AC nên BM/BA=MN/AC hay 4/(4+4x)=MN/(3+3x) hay MN=3=PC hay MNCP là hình bình hành vậy MP//BC, do đó CP/CA=MN/CA=AP/AC, hay AP=PC vậy M,N, P trở thành trung điểm các cạnh tam giác APC và MNCP là hình chữ nhật