Do năm sinh của ông Hai và bà Hai nằm trong thế kỉ XX, ta xét trường hợp ông Hai sinh vào năm 1999. Khi đó bà Hai sinh năm 2000 (có tổng chữ số bằng 2 không chia hết cho 4). Vậy năm sinh của ông Hai sẽ là năm \(\overline{19ab}\) với \(a,b\inℕ;0\le a,b\le9;ab\ne0\). Khi đó tổng các chữ số của năm sinh ông Hai là \(10+a+b\)
Vậy năm sinh của bà Hai sẽ là \(\overline{19ab}+1\) .
Xét trường hợp \(0\le b\le8\), năm sinh của bà Hai sẽ có dạng \(\overline{19a\left(b+1\right)}\). Do đó tổng các chữ số của năm sinh bà Hai là \(10+a+\left(b-1\right)\)
Nếu tổng các chữ số của năm sinh ông Hai chia hết cho 4, hay \(10+a+b⋮4\), do \(1⋮̸4\) nên \(10+a+b+1⋮̸4\) dẫn đến tổng các chữ số của năm sinh bà Hai không chia hết cho 4 (mâu thuẫn)
Vậy \(b=9\). Khi đó năm sinh của ông, bà Hai lần lượt có dạng \(\overline{19a9};\overline{19a9}+1\)
Ta có \(1+9+a+9⋮4\) hay \(19+a⋮4\). Vậy \(a\) là 1 số tự nhiên chia 4 dư 1 nhỏ hơn hoặc bằng 9. Nhưng do ta đã loại trường hợp \(a=9\) ở trên nên ta chỉ xét 2 TH là \(a=1\) hoặc \(a=5\).
Nếu \(a=1\) thì năm sinh của bà Hai sẽ là \(1919+1=1920\) (thỏa mãn tổng các chữ số chia hết cho 4)
Nếu \(a=5\) thì năm sinh của bà Hai sẽ là \(1959+1=1960\) (thỏa mãn tổng các chữ số chia hết cho 4)
Vậy ta sẽ có 2 trường hợp xảy ra:
TH1: Ông Hai sinh năm \(1919\) và bà Hai sinh năm \(1920\) (cả ông bà đều thọ trên trăm tuổi rồi)
TH2: Ông Hai sinh năm \(1959\) và bà Hai sinh năm \(1960\)
