Dựng nửa đường tròn còn lại của (O) và dựng các hình vuông A'B'CD, E'F'GC lần lượt đối xứng với các hình vuông ABCD, EFGC qua đường kính (chứa đoạn DG) của (O).
Gọi \(x\) là độ dài cạnh hình vuông ABCD \(\left(x>0\right)\) và \(y\) là độ dài cạnh hình vuông EFGC \(\left(y>0\right)\)
Dễ dàng tính được \(CA=x\sqrt{2};CF=y\sqrt{2}\)
Lại có CA, CF lần lượt là đường chéo của các hình vuông ABCD, EFGC nên ta có \(\widehat{ACB}=\widehat{FCE}=45^o\), từ đó \(\widehat{ACF}=\widehat{ACE}+\widehat{FCE}=45^o+45^o=90^o\) hay \(\Delta ACF\) vuông tại C \(\Rightarrow AF^2=CA^2+CF^2=\left(x\sqrt{2}\right)^2+\left(y\sqrt{2}\right)^2=2x^2+2y^2\) (1)
Dễ thấy \(\widehat{ACD}=45^o\) (tính chất đường chéo của hình vuông) và \(\widehat{A'CD}=45^o\) (tính chất đối xứng)
Ta có \(\widehat{ACF}=\widehat{A'CD}+\widehat{ACD}+\widehat{ACF}=45^o+45^o+90^o=180^o\), do đó A', C, F thẳng hàng.
Cũng theo tính chất đối xứng, ta cũng có A, D, A' thẳng hàng.
Vì A'C là đường chéo của hình vuông A'B'CD nên \(\widehat{DA'C}=45^o\) hay \(\widehat{AA'F}=45^o\)
Xét (O), ta có\(\widehat{AOF},\) \(\widehat{AA'F}\) lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{AF}\) nên \(\widehat{AOF}=2\widehat{AA'F}=2.45^o=90^o\) hay \(\Delta AOF\) vuông tại O
\(\Rightarrow AF^2=OA^2+OF^2=10^2+10^2=200\) (2) (vì OA và OF là các bán kính của (O), theo giả thiết lại có bán kính của (O) bằng 10)
Từ (1) và (2), ta có \(2x^2+2y^2=200\Leftrightarrow x^2+y^2=100\)
Mà \(x^2+y^2\) chính bằng tổng diện tích của 2 hình vuông nên ta kết luận: Tổng diện tích của 2 hình vuông bằng 100 (đơn vị diện tích)
