Ta vẽ hình như trên.
Dễ thấy rằng đường chéo BD chia hình chữ nhật ABCD thành 2 tam giác bằng nhau: ABD và CDB. Do đó bán kính đường tròn nội tiếp của chúng cũng bằng nhau nên ta có kí hiệu \(r\) cho cả 2 đường tròn (I) và (J) như hình vẽ.
Dễ thấy rằng \(IM=EF-IE-MF=6-2r\), tương tự, ta cũng có \(MJ=8-2r\)
Tam giác MIJ vuông tại M nên ta có \(IJ=\sqrt{MI^2+MJ^2}=\sqrt{\left(6-2r\right)^2+\left(8-2r\right)^2}\)
Mặt khác \(S_{ABD}=\dfrac{1}{2}AB.AD=\dfrac{1}{2}.6.8=24\left(đvdt\right)\)
Tam giác ABD vuông tại A nên \(BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\)
Lại có \(S_{IAB}=\dfrac{1}{2}IE.AB=\dfrac{1}{2}r.8=4r\)
\(S_{IAD}=\dfrac{1}{2}IL.AD=\dfrac{1}{2}r.6=3r\)
\(S_{IBD}=\dfrac{1}{2}IN.BD=\dfrac{1}{2}r.10=5r\)
Do đó \(S_{IAB}+S_{IAD}+S_{IBD}=12r\) hay \(S_{ABD}=12r\) hay \(12r=24\) hay \(r=2\)
Dẫn đến \(IJ=\sqrt{\left(6-2r\right)^2+\left(8-2r\right)^2}\) \(=\sqrt{\left(6-2.2\right)^2+\left(8-2.2\right)^2}\) \(=\sqrt{2^2+4^2}\) \(=\sqrt{20}\) \(=2\sqrt{5}\) (đvđd)
Như vậy \(IJ=2\sqrt{5}\)
