Cách 1:

Kéo dài DI cắt BC tại J. Dễ dàng nhận thấy tam giác ICJ cân ở I do \(\widehat{ICJ}=\widehat{IJC}=90^o-15^o=75^o\) ⇒ IJ = IC = ID (tam giác ICD cân ở I)

Ta có: S_ICD = \(\dfrac{1}{2}\)CI.DI.sin(\(\widehat{CID}\)) = \(\dfrac{1}{2}\)CI².sin(150) và S_ICJ = \(\dfrac{1}{2}\)CI.JI.sin(\(\widehat{CIJ}\)) = \(\dfrac{1}{2}\)CI².sin(30)

⇒ S_CDJ = \(\dfrac{1}{2}\)CI²(sin(150)+sin(30)) = \(\dfrac{1}{2}\)CI²(2sin(\(\dfrac{150+30}{2}\))cos(\(\dfrac{150-30}{2}\))) = \(\dfrac{1}{2}\)CI² (2sin(90)cos(60)) = \(\dfrac{1}{2}\)CI² 

⇒ CI² = 2S_CDJ = CD.CJ = BC.CJ ⇒ \(\dfrac{BC}{CI}=\dfrac{IC}{CJ}\)

Tam giác BCI và tam giác ICJ có \(\dfrac{BC}{CI}=\dfrac{IC}{CJ}\), chung góc C ⇒ tam giác BCI đồng dạng tam giác ICJ ⇒ \(\widehat{IBC}=\widehat{JIC}=30^o\)

Đáp án:  \(\widehat{IBC}\) = 30^o

Cách 2:

Đặt độ dài cạnh hình vuông bằng 1

Qua I kẻ đường thẳng song song AD và BC, lần lượt cắt AB và CD tại E và F ⇒ EF vuông góc AB, CD và EF = 1

Tam giác ICD cân ở I ⇒ IF là trung trực CD ⇒ E là trung điểm AB, F là trung điểm CD ⇒ BE = CF = 1/2

Ta có tan(\(\widehat{FCI}\)) = FI/CF = tan(15^o) = 2 - \(\sqrt{3}\) ⇒ FI = (2 - \(\sqrt{3}\))CF = 1 - \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ⇒ EI = 1 - FI = \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Tam giác BEI vuông ở E ⇒ BI² = BE² + EI² = (\(\dfrac{1}{2}\))² + (\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\))² = 1 ⇒ BI = 1.

Tam giác BEI có cạnh BE bằng 1/2 cạnh huyền BI ⇒ \(\widehat{BIE}\) = 30^o mà  \(\widehat{IBC}\) lại nằm ở vị trí so le trong với góc này ⇒ \(\widehat{IBC}\) = 30^o

Đáp án: \(\widehat{IBC}\) = 30^o