Giải

Tam giác BMN đồng dạng với tam giác NPC (góc M = góc P = 90 độ; góc N = góc C (đồng vị))

=> BM/MN = NP/PC => MN.NP = BM.PC = 4 x 3 = 12 (1). Vậy diện tích hình chữ nhật màu xanh là 12.

Diện tích tam giác ABC = \(\dfrac{BA.AC}{2}=\dfrac{\left(BM+MA\right)\left(AP+PC\right)}{2}=\dfrac{\left(4+NP\right)\left(MN+3\right)}{2}\)

Xét tích (4 + NP)(3 + MN) ≥ (\(2\sqrt{3}\) + \(\sqrt{NP.MN}\))² = (\(2\sqrt{3}+\sqrt{12}\))² = 48 (Bất đẳng thức Bunhiacopxki)

Vậy diện tích nhỏ nhất của tam giác ABC = 48/2 = 24. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{NP}}{\sqrt{MN}}\) <=> 4(MN) = 3(NP) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN = 3, NP = 4

Đáp số: a) 12           b) 24 (diện tích tam giác ABC nhỏ nhất khi MN = 3, NP = 4)